Существует ли скалярное произведение, для которого

[tavrik]

Следуюшая группа векторов является ортогональной:
$\{1 + x, x + x^2, x^2 + x^3, x^3 + x^4, x^4\}$

Я должен проверить, при каких условиях выполняется ортогональность всех членов группы относительно друг друга(перемножение дает ноль)?
Нет ли другого подхода?

PS
* не требуется, чтобы группа была базисом(важно ли это?)
** заданное пространство - R5
*** ничего не сказано про характеристику поля(влияет ли она - равна 2, не равна?)

заранее спасибо и, прошу прощения, если есть ошибки в русскоязычных математических определениях и терминах. я учился в России лишь до 8-го класса.

[caxap]

(Мнение студента)

Вам же не нужно само скал. произведение находить. По-моему, достаточно показать, что они независимы.

[tavrik]

независимость достаточна в данном случае?
что значит в некотором базисе при некотором скал. произведении - любую группу независимых векторов можно ортонормировать(грахам-шмидт, по моему это называется так?)

[caxap]

(tavrik)

Во-первых, я вам не рекомендую мне безоговорочно доверять. Я сам учусь

Теперь моё мнение про задачу: если вы доказали, что эти векторы независимы, то они являются базисом в некотором подпространстве. Это подпространство изоморфно $\mathbb R^5$, где вашим векторам соответствуют векторы $(1,0,0,0,0), (0,1,0,0,0), \ldots, (0,0,0,0,1)$. Если в $\mathbb R^5$ ввести стандартное скалярное произведение (сумма произведений соответствующих координат), то эти векторы будут ортогональны.

[mihailm]

Начнем с того что дано и что требуется доказать, посчитать или найти?

[tavrik]

Доказать либо опровергнуть

[bot]

Вроде бы caxap уже всё объяснил ...

В конечномерном пространстве (над полем действительных или комплексных чисел) можно ввести скалярное произведение так, что любая наперёд заданная линейно независимая система векторов окажется ортогональной (и даже ортонормированной).

Так что доказывать то или опровергать? Задание скалярного произведения не полностью в нашей власти? Ну тогда по умолчанию в пространстве функций предполагается его определение через интеграл на промежутке. Подобрать промежуток? Но тогда всего два параметра (концы промежутка), а уравнений 10, так что смело опровергайте.

*** скалярное произведение вводится только в пространствах над полем $\mathbb R$ или $\mathbb C$, ну или, если сильно захотеть, то над подполями указаных - в любом случае конечная характеристика идёт лесом и мимо.

[mihailm]

tavrik в сообщении #413538 писал(а):

Доказать либо опровергнуть

Еще раз
Что дано и что требуется доказать либо опровергнуть, посчитать или найти?

-- Ср фев 16, 2011 12:25:27 --

tavrik в сообщении #413341 писал(а):

...любую группу независимых векторов можно ортонормировать(грахам-шмидт, по моему это называется так?)

(Оффтоп)

Не совсем так, правильно Рахат-Лукум

[Gortaur]

(Оффтоп)

Рахат-лукум... ну зачем Вы напомнили? Придется искать Белую Колдунью.

tavrik
Проверьте уже независимость. Тогда по Грамму-Шмидту можно будет ортонормировать. Если есть зависимость - тут же ничего не поможет (я про вектора).

[caxap]

Gortaur в сообщении #413578 писал(а):

Тогда по Грамму-Шмидту можно будет ортонормировать.

Зачем?

[Gortaur]

Я имею ввиду, показать что есть метод который позволит ввести скалярное произведение делающее данные вектора ортогоанальными.

[Dan B-Yallay]

$$\text{Пусть } \begin{matrix}\phi_1&=1+x, \\ \phi_2&=x+x^2, \\ \phi_3&=x^2+x^3\\ \phi_4&= x^3+x^4 \\ \phi_5&=x^4 \end{matrix}\hspace{50pt} \text{Надо найти $A$ такую, что} \begin{pmatrix} (1 & x & 0 & 0 & 0)\\ (0 & x & x^2 & 0 & 0)\\ (0 & 0 & x^2 & x^3 & 0)\\ (0 & 0 & 0 & x^3 & x^4)\\ (0 & 0 & 0 & 0 & x^4) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} & & & & \\ & & & & \\ & & A & & \\ & & & & \\ & & & & \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 &0\\ 0& 1 &0 &0 &0 \\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}=( e_1,e_2,e_3,e_4,e_5)$$

Показать что $AA^T>0 $ то есть положительно определена и ввести через нее скалярное произведение. Тогда

$$\displaystyle (\phi_i, \phi_j)_A=\phi_iAA^T\phi_j^T=(e_i,e_j)_{\mathbb R^5}=\delta_i^j$$

Если проврался - поправьте.

[caxap]

Dan B-Yallay в сообщении #413714 писал(а):

ввести через нее скалярное произведение

Зачем?

tavrik в сообщении #413334 писал(а):

Существует ли скалярное произведение...

[Dan B-Yallay]

caxap в сообщении #413717 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #413714 писал(а):

ввести через нее скалярное произведение

Зачем?

Если можно ввести, то значит - существует. Не так ли?

[tavrik]

Михаилм
задана группа векторов в пространстве(см выше).

Вопрос поставлен "существует ли"
Ответить на него, видимо:
либо "да(и почему)"
либо "нет(и почему)"

нужно ли считать по ходу доказательства я не знаю.
Ответ с положительно определенной матрицей, кажется мне самым близким к правильному.