2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл с параметром
Сообщение12.02.2011, 01:00 
Аватара пользователя


23/11/10
5
Есть интеграл $\int_{0}^{1} \frac{arctg{5x}}{x\sqrt{1-x^2}} dx$. Его, собственно, надо взять.
Введем параметр $5=\alpha$ и продифференцируем по нему - получится $\int_{0}^{1} \frac{1}{(1+\alpha^2 x^2)\sqrt{1-x^2}} dx$. Сделаем замену $x = \sin t$, поменяем соотвественно пределы, тогда интеграл преобразуется к $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\alpha^2 \sin x^2}} $. Подскажите, пожалуйста, что можно сделать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение12.02.2011, 01:42 


02/07/08
322
Ну получится, к счастью, $\sin^2 x$, а не $\sin x^2$, так что замена $\tg x = t$ поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение12.02.2011, 12:53 


19/01/11
718
Cave в сообщении #412081 писал(а):
Ну получится, к счастью, $\sin^2 x$, а не $\sin x^2$ поможет.

$I'(a)=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\alpha^2 \sin^2 x}} $$
Цитата:
, так что замена $\tg x = t$

отсюда, получаем
$I'(a)=\frac{\pi}2 \frac1{\sqrt{a^2+1}}$
итак , окончательно
$I(a)=\frac{\pi}2 \ln{(a+\sqrt{a^2+1})}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение12.02.2011, 14:37 
Аватара пользователя


23/11/10
5
Большое спасибо, обещаю больше не путать $\sin^2 x$ и $\sin x^2$ :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение12.02.2011, 22:28 
Аватара пользователя


13/01/11

119
Вильнюс

(Оффтоп)

Между прочим интеграл от $\frac{1}{sinx^2} $ - это специальная функция (Интеграл Френеля, интегральная функция Френеля).

-- 12 фев 2011, 21:37 --

Ошибся не от отношения :
$ S(t) \ = \ \int_{0}^{t} sinx^2 \ dx; $ - Синус - интеграл Френеля.
Тоже берётся как интеграл вероятности разложением ф-ции синус по степеням x с последующим интегрированием.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group