Интеграл с параметром

[havebeenfitz]

Есть интеграл $\int_{0}^{1} \frac{arctg{5x}}{x\sqrt{1-x^2}} dx$. Его, собственно, надо взять.
Введем параметр $5=\alpha$ и продифференцируем по нему - получится $\int_{0}^{1} \frac{1}{(1+\alpha^2 x^2)\sqrt{1-x^2}} dx$. Сделаем замену $x = \sin t$, поменяем соотвественно пределы, тогда интеграл преобразуется к $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\alpha^2 \sin x^2}} $. Подскажите, пожалуйста, что можно сделать дальше?

[Cave]

Ну получится, к счастью, $\sin^2 x$, а не $\sin x^2$, так что замена $\tg x = t$ поможет.

[myra_panama]

Cave в сообщении #412081 писал(а):

Ну получится, к счастью, $\sin^2 x$, а не $\sin x^2$ поможет.

$I'(a)=$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\alpha^2 \sin^2 x}} $$

Цитата:

, так что замена $\tg x = t$

отсюда, получаем
$I'(a)=\frac{\pi}2 \frac1{\sqrt{a^2+1}}$
итак , окончательно
$I(a)=\frac{\pi}2 \ln{(a+\sqrt{a^2+1})}$

[havebeenfitz]

Большое спасибо, обещаю больше не путать $\sin^2 x$ и $\sin x^2$

[Aleksandrito]

(Оффтоп)

Между прочим интеграл от $\frac{1}{sinx^2} $ - это специальная функция (Интеграл Френеля, интегральная функция Френеля).

-- 12 фев 2011, 21:37 --

Ошибся не от отношения :
$ S(t) \ = \ \int_{0}^{t} sinx^2 \ dx; $ - Синус - интеграл Френеля.
Тоже берётся как интеграл вероятности разложением ф-ции синус по степеням x с последующим интегрированием.