Доказать свойство натуральных чисел

[ellipse]

Someone в сообщении #475377 писал(а):

Ну пусть такое $n$ существует. И что? Например, пусть $M=\{2,4\}$ и $n=3$.

Тогда $n+1=4$ не будет минимальным в $M$.

[Someone]

Ну не будет. И что?

[ellipse]

Someone в сообщении #475381 писал(а):

Ну не будет. И что?

Значит $n+1$ не минимальный в $M$, т.е. мы не нашли минимальный элемент и исходное утверждение не доказано.

[Someone]

А какое отношение это $n$ имеет к доказательству пункта 7? Там ведь утверждается $\exists n(\forall m(m\leqslant n\Rightarrow m\in E)\wedge n+1\in M)$.

[ellipse]

Someone в сообщении #475383 писал(а):

А какое отношение это $n$ имеет к доказательству пункта 7? Там ведь утверждается $\exists n(\forall m(m\leqslant n\Rightarrow m\in E)\wedge n+1\in M)$.

Если правильно понимаю, это и есть запись существования минимального элемента. Как доказать это утверждение?

Пробовал и от противного, то есть из $\forall n(\exists m(m\leqslant n \wedge m\in M) \lor n+1\in E)$ получить, что $\forall n(n+1 \in E)$, т.е. $E=\mathbb{N}$. Для $n=1$ нужного $m$ не найдется, так как мы предположили, что $1 \notin M$ поэтому $n+1\in E$. Не соображу, как дальше.

[Someone]

ellipse в сообщении #475387 писал(а):

Если правильно понимаю, это и есть запись существования минимального элемента.

Ну да, это и означает, что $n+1$ - минимальный элемент $M$.

ellipse в сообщении #475387 писал(а):

Пробовал и от противного, то есть из $\forall n(\exists m(m\leqslant n \wedge m\in M) \lor n+1\in E)$ получить, что $\forall n(n+1 \in E)$, т.е. $E=\mathbb{N}$. Для $n=1$ нужного $m$ не найдется, так как мы предположили, что $1 \notin M$ поэтому $n+1\in E$. Не соображу, как дальше.

В том доказательстве, которое Вы процитировали, это есть. Попробую чуть детальнее. Для краткости все кванторы ограничим множеством натуральных чисел (чтобы не писать без конца $n\in\mathbb N$ и т.п.).
Мы предполагаем, что $1\notin M\neq\varnothing$. Определяем множество $E=\mathbb N\setminus M$. Для удобства определим ещё множество $E'=\{n\in E:\forall m(m\leqslant n\Rightarrow m\in E)\}$. Очевидно, $E'\subseteq E$. Мы хотим доказать, что если $M$ не имеет минимального элемента, то $E'=\mathbb N$ (и, тем более, $E=\mathbb N$).
Вспомогательное утверждение (совершенно очевидное): если $n\in E'$ и $n+1\in E$, то $n+1\in E'$.
Далее пользуемся принципом математической индукции.
Очевидно, $1\in E'$.
Пусть $n\in E'$. Если $n+1\in M$, то $n+1$ - минимальный элемент $M$, но так как $M$, по предположению, не имеет минимальных элементов, то $n+1\notin M$, то есть, $n+1\in E$ и, следовательно, $n+1\in E'$.
По принципу математической индукции отсюда следует, что $E'=\mathbb N$. А отсюда следует, что $M=\varnothing$, что противоречит условию $M\neq\varnothing$.