Супремум и инфимум

[brilliant]

Помогите пожалуйста разобраться с нахождением супремума и инфимума, в теории всё понятно, но на практике не знаю как применить.

Нужно найти верхний предел, нижний предел у $\lim\limits_{n \to \infty} x_n$ а также $\sup \inf$

$x_n = 1 + 2 (-1)^{n+1} + 3 (-1)^\frac{n(n-1)}2$

Я не прошу готового решения, я прошу натолкнуть на суть решения подобных задач.

[svv]

Инфимум, с буквой "м".
Ответьте последовательно на вопросы:
Как ведет себя второе слагаемое в зависимости от $n$?
Третье слагаемое?
Сумма?

[brilliant]

Извините, опечатался)
Я так понял, нужно подставить $2k$ и $2k-1$ вместо $x$ ?

[svv]

Нет-нет, тут сразу три непонятности: почему $k$, если в условии $n$? зачем умножать на $2$? почему это надо подставлять вместо $x$?

Я имел в виду, что надо просто исследовать, чему равен $x_n$ в зависимости от $n$. И так как сразу это сделать трудно, то для начала рассмотрим отдельные слагаемые, а потом найдём сумму. Я исследую первое и второе слагаемое, а Вы в этом же духе третье, OK?

Первое слагаемое: оно равно $1$ для любого $n$.
Второе слагаемое, $2(-1)^{n+1}$. Как известно, $-1$ в четной степени равно $+1$, а в нечетной $-1$. Но в показателе стоит $n+1$, а прибавление $1$ меняет четность. Поэтому $(-1)^{n+1}$ равно $+1$, когда $n$ нечетно, и $-1$, когда $n$ четно. Да еще множитель $2$. Всё слагаемое при нечетных $n$ равно $+2$, а при четных $-2$.

[brilliant]

Да, я именно это и имел в виду, только немного другим способом, как нас учили
У меня получилось тоже самое. Верхний предел получился $= 3$, а нижний $= -1$. Это так?

[svv]

Нет, например, уже при $n=1$ получаем $x_1 = 1 + 2 (-1)^{1+1} + 3 (-1)^\frac{1(1-1)} 2 = 1 + 2 (-1)^2 + 3 (-1)^0 = 1+2+3=6$.
Поэтому Вы все-таки не спешите, а расскажите мне про третье слагаемое.

[brilliant]

Похоже я понял. Третье слагаемое всегда будет четным, при любых значениях $n$. Т.е. в конечном итоге получается:

$\pm2+1+3$

И выходит, что верхний предел $=6$, нижний $=2$. Так?

[svv]

А при $n=3$? Математика, ох, хитрая штука.

-- Пт фев 11, 2011 18:04:51 --

Третье слагаемое в зависимости от $n$. Только третье слагаемое. Без него у Вас нет шансов угадать.
Можете даже пока на $3$ не умножать.
Составьте табличку хотя бы для $n$ от $0$ до $10$.

[brilliant]

Действительно, что-то я уже совсем запутался. У третьего слагаемого четность меняется через каждые 2 $n$. Т.е. он два раза четный, два раза нечетный.

[AKM]

brilliant в сообщении #411920 писал(а):

Третье слагаемое всегда будет четным, при любых значениях $n$.

Извините за вмешательство, но у меня третье слагаемое получается всегда 3 или -3. Я уже примерно до 120 проверил.
А 3 и -3 --- числа НЕчётные. Это я точно помню.

[brilliant]

Я имел в виду не четность/нечетность, а положительность/отрицательность

Верхний $= 6$, нижний $=-4$ в конченом итоге у меня получилось.

[svv]

brilliant в сообщении #411929 писал(а):

У третьего слагаемого четность меняется через каждые 2 $n$. Т.е. он два раза четный, два раза нечетный.

Да. Согласитесь, что как-то угадать это было бы сложно. И тем более предсказать, какая будет сумма этого со вторым слагаемым, у которого период иной.

А ответ -- да, такой.

[brilliant]

Спасибо за помощь. А что здесь будет $\sup$ и $\inf$, те же значения?

[svv]

Да, те же. Но важно понимать, что в других случаях это может быть и не так.
Например, такая последовательность: $1, 20, 10, -7, 3, 5, 3, 5, 3, 5, ...$ дальше только чередуются $3$ и $5$. Супремум, инфимум, верхний предел, нижний предел -- всё ясно?

И второе. Вы знаете, что супремум и инфимум не обязательно достигаются, то есть не обязательно есть элементы последовательности, равные супремуму или инфимуму. Пример: $0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...$ Здесь супремум $1$, но ни один элемент не равен $1$.

[brilliant]

Еще раз спасибо А каким образом находить супремум и инфимум в других случаях?