Задача по теории вероятностей, про шары и ящик

[Skipper]

Задача по теории вероятностей. Будем бесконечное количество раз тянуть вслепую шары из ящика, в котором ВСЕГДА 1 белый шар, и какое то количество черных шаров. (после вытаскивания шара - возвращаем его обратно в ящик) Перед нашей $N$-й попыткой вытащить шар - в ящике ВСЕГДА $(ln N)^2$ ЧЕРНЫХ шаров, и всегда 1 белый шар. (кто-то постоянно подбрасывает черные шары в ящик) Вопрос - бесконечное ли количество раз мы вытащим белый шар?

Еще одна задача. Аналогична выше описанной задаче, только другая функция, определяющая количество черных шаров. Не $f(N) = (ln N)^2$, а какая-то другая. Найти такую $f(N)$, чтобы правильный ответ на этот вопрос был - может быть И КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ количество вытаскиваний белых шаров. Например, в результате такого эксперимента, мы можем с вероятностью 0.7 вытащить бесконечное количество шаров, но с вероятностью 0.3 - конечное количество шаров.

[Joker_vD]

Сформулируйте поточнее. Мне сложно представить ящик с 1 белым и $\approx0,48$ черными шарами. Потом, ответ на

Skipper в сообщении #411137 писал(а):

Вопрос - бесконечное ли количество раз мы вытащим ДВА ПОДРЯД белых шара?

безусловно "да": достатчоно вытягивать шары в последовательности белый, белый, черный, белый, белый, черный, ...

Skipper в сообщении #411137 писал(а):

Найти такую f(N), чтобы правильный ответ на этот вопрос был - может быть И КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ количество вытаскиваний белых шаров.

Это верно для почти любой функции: в первом случае надо вытянуть белый шар несколько раз, а потом вынимать только черные; во втором же надо все время вытягивать белый шар.

[Skipper]

Цитата:

безусловно "да": достатчоно вытягивать шары в последовательности белый, белый, черный, белый, белый, черный, ...

как это? Из ящика мы тащим шары вслепую. То что мы вытащим белый - вероятность $1/f(N)$

Цитата:

Мне сложно представить ящик с 1 белым и $\approx0,48$

Если $(ln N)^2$ - нецелое число, то количество шаров в ящике - целая часть этого числа.

Два подряд пока не надо - надо решить вопрос - просто - вытащим ли мы бесконечное количество белых шаров и все.

[arseniiv]

Skipper в сообщении #411143 писал(а):

как это? Из ящика мы тащим шары вслепую. То что мы вытащим белый - вероятность $1/f(N)$

Эта вероятность не помешает нам вытянуть даже счётное количество белых шаров.

[Joker_vD]

А, так мы еще и наугад тянем? И вероятность белого шара, кстати, тогда $\frac1{1+f(N)}$.

Итак... обстановка: имеется счетное количество ящиков с шарами, в $n$-ом ящике лежит 1 белый и $f(n)$ черных шаров.
Испытание: берем наугад из каждого ящика по одному шару.
Исход: последовательность (в смысле отображения $\mathbb N \to \{\,Black,White\,\}$) шаров. Найти вероятность того, что существует бесконечно много различных чисел $m_i$, $m_i \in \mathbb N$ таких, что все шары с номерами $m_i,\,m_i+1$ — белые.

Ну, сходу могу сказать, что эта вероятность ненулевая для любой $f(n)$.

[Skipper]

В результате такого эксперимента должно получиться либо бесконечное количество вытащенных белых шаров, либо конечное! И при функции, показывающей количество черных шаров в ящике $f(N) = (ln N)^2$, где $N$ номер попытки, это неясно - вытащим ли мы бесконечное количество белых.

Очевидно, что если функцию задать более возрастающую, например при $f(N) = 10^N$, мы НЕ ВЫТАЩИМ бесконечное количество белых шаров. Сами подумайте, всегда в ящике 1 белый шар, и во время 1-й попытки в ящике 10 черных, ну хорошо, пусть повезло, вытащили белый. Во время 2-й попытки там уже 100 черных, во время 10-й попытки - 10000000000 черных. И т.д. Ясно что начиная с какой то попытки, мы больше НИКОГДА не вытащим белый шар. Даже если пытаться будем бесконечное количество раз.

-- Ср фев 09, 2011 20:17:06 --

Цитата:

И вероятность белого шара, кстати, тогда $\frac1{1+f(N)}$.

Вероятность того что мы вытаскиваем белый шар, для моей задачи, равна $1/(ln N)^2$

-- Ср фев 09, 2011 20:20:15 --

Значит так.

Обозначим $f(N)$ = $1/(ln N)^2$ - функция которая дает нам вероятность вытаскивания белого шара при N-й попытке.
Тогда $(1-f(N))$ - это вероятность неудачи, т.е. вероятность вытаскивания черного шара. Какова вероятность того что мы ни разу не вытащим белый шар за все попытки начиная от 1000-й до 2000-й? Эта вероятность равна
$(1-f(1000)) * (1-f(1001)) * (1-f(1002)) ... * (1-f(2000))$.
Если у нас в конечном итоге должно получиться конечное количество белых шаров, то начиная от какой то попытки M, мы вообще ни разу не вытащим белый шар, а это возможно если
$(1-f(M)) * (1-f(M+1)) * (1-f(M+2))$ ... * $(1-f(M+x ))$ ...
не стремится к 0, при бесконечном количестве этих множителей в произведении. Если же это произведение будет стремится к 0, то всегда должны попадаться белые шары, т.к. это произведение - вероятность того что мы никогда больше не вытащим белый. Также, если это произведение стремится к 0, то будет стремится к 0 и полное произведение начиная от 1-й попытки.

Поэтому нужно найти предел этого произведения.

Возможны три варианта.

1. Бесконечное произведение
$(1-f(M)) * (1-f(M+1)) * (1-f(M+2))$ ... * $(1-f(M+x ))$ ...
стремится к 0, при $M = 1$. (да и при любом, больше 1). Тогда мы можем утверждать, что количество белых шаров будет БЕСКОНЕЧНО.

2. Это же произведение может быть сколь угодно близко к 1, если мы возьмем достаточно большое $M$. Т.е. для любого сколь угодно малого $Epsilon>0$, существует такое $M$, при котором это произведение больше чем $(1 - Epsilon)$. Тогда количество белых шаров будет КОНЕЧНО.

3. Не выполняются оба первых условия - тогда количество белых шаров - может быть и конечно. и бесконечно.

[arseniiv]

Skipper в сообщении #411153 писал(а):

Ясно что начиная с какой то попытки, мы больше НИКОГДА не вытащим белый шар. Даже если пытаться будем бесконечное количество раз.

Даже при нулевой вероятности вытаскивания белого шара мы можем вытащить его бесконечное число раз. Например, если шары вытаскиваются так: Ч, Б, Ч, Ч, Б, Ч, Ч, Ч, Ч, Б, Ч (8 раз), Б, Ч (16 раз), Б, Ч (32 раза), …, то вероятность выпадания Б равна нулю, однако мы вынем его сколь угодно большое число раз.

[Skipper]

Цитата:

Даже при нулевой вероятности вытаскивания белого шара мы можем вытащить его бесконечное число раз. Например, если шары вытаскиваются так: Ч, Б, Ч, Ч, Б, Ч, Ч, Ч, Ч, Б, Ч (8 раз), Б, Ч (16 раз), Б, Ч (32 раза), …, то вероятность выпадания Б равна нулю, однако мы вынем его сколь угодно большое число раз.

Ни на какой конкретной попытке N - вероятность вытаскивания белого шара - у вас НЕ РАВНА нулю! Иначе бы вы белые шары перестали вытаскивать.

Более того, можно за бесконечное количество попыток ни разу не вытащить белый шар, если эта вероятность его вытаскивания не равна нулю, очень мала и главное - постоянно УМЕНЬШАЕТСЯ. Если бы она не уменьшалась, а была константной, то мы бы вытащили бесконечное количество белых шаров.

[Joker_vD]

Skipper в сообщении #411153 писал(а):

Ясно что начиная с какой то попытки, мы больше НИКОГДА не вытащим белый шар

Почему? Т.е. если в ящике лежит 1 белый и $N$ черных, то нельзя вытащить белый шар как только $N$ достаточно велико? Ложь: вероятность вытащить белый шар будет равна $\frac1{1+N}$.

Кстати да, arseniiv прав — ведь уже нельзя пользоваться классическим определением для всей серии. Однако. Надо вводить сигма-алгебру на $\mathbb N$...

[arseniiv]

(Оффтоп)

${\color{red} \ln}^2 N$, $(1 - f(1000)) {\color{red} \cdot} (1 - f(1001))$

Skipper в сообщении #411165 писал(а):

Ни на какой конкретной попытке N - вероятность вытаскивания белого шара - у вас НЕ РАВНА нулю!

Это почему же вы так считаете?
Если рассмотреть предел $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{w}{n}$ отношения количества $w(n)$ вынутых белых шаров к количеству $n$ всех для той последовательности исходов, получим $0$. Насколько я знаю, с точки зрения статистики этот предел равен вероятности. Хотя лучше ввести сигма-алгебру, только как?

[Joker_vD]

Skipper в сообщении #411165 писал(а):

Более того, можно за бесконечное количество попыток ни разу не вытащить белый шар

Можно. А можно и вытащить его на каждом испытании. Это очень, очень маловероятно, но не невозможно.

[Skipper]

Цитата:

Почему? Т.е. если в ящике лежит 1 белый и $N$ черных, то нельзя вытащить белый шар как только $N$ достаточно велико? Ложь: вероятность вытащить белый шар будет равна $\frac1{1+N}$.

Если эта вероятность константа, и не меняется, то мы всегда пройдем достаточное количество попыток, чтобы его вытащить ПРИ ЭТОЙ ВЕРОЯТНОСТИ! Ведь у нас попыток бесконечное количество. Но если САМА ВЕРОЯТНОСТЬ уменьшается и стремится к нулю, то может получится что мы никогда более не вытащим белый шар, даже имея бесконечное количество попыток. В самом деле, дошли до шага, когда в ящике 1000 черных шаров. Чтобы вытащить белый, нужно какое то количество попыток, скажем 1000. (в среднем). Но пока мы сделаем эти 1000 попыток, в ящике станет уже 10000000000 черных шаров. Чтобы вытащить шар после того момента, надо еще больше попыток, и опять же пока мы их сделаем, черных шаров станет еще больше. Замкнутый круг. При определенной $f(N)$, опредеяющей количество черных шаров, начиная с какой то попытки - мы НИКОГДА не вытащим белый шар.

Почитайте выше, я писал, какой предел нужно посчитать.

-- Ср фев 09, 2011 20:36:32 --

Цитата:

Если рассмотреть предел $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{w}{n}$ отношения количества $w(n)$ вынутых белых шаров к количеству $n$ всех для той последовательности исходов, получим $0$.

А причем тут этот предел? Я писал - на каждом КОНКРЕТНОМ шаге, т.е. при конкретно определенном N - у нас нулевая вероятность. или нет? Предположим, N=100000000000000000. Нулевая? Нет.
$1/(ln 100000000000000000)^2$

[Joker_vD]

Так. Давайте-ка мы все успокоимся. Skipper, вас устраивает приведенная мною в сообщении #411150 модель опыта? В любом случае, к вашему опыту неприменима классическое определение вероятности. Надо будет как-то хитро вводить на $2^{\mathbb N}$ вероятностную метрику, а я, увы, не настолько хорошо знаю теорию меры.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Skipper в сообщении #411175 писал(а):

Чтобы вытащить белый, нужно какое то количество попыток, скажем 1000. (в среднем).

Это неправильный подход к вероятности. Мы производим независимые для каждой вероятности извлечения испытания, каждое по одному разу, и их исходы никак не связаны.

Joker_vD в сообщении #411176 писал(а):

Надо будет как-то хитро вводить на $2^{\mathbb N}$ вероятностную метрику, а я, увы, не настолько хорошо знаю теорию меры.

Что должно означать $P(\{n\})$? А то я до сих пор не понял, какую вы сделали модель.

[Skipper]

Цитата:

Это неправильный подход к вероятности.

Я знаю, что независимы. Я просто описал понятным языком, что ПРИМЕРНО, в среднем может потребоваться столько попыток, и за это время количество черных шаров уходит все дальше в бесконечности.

Цитата:

Так. Давайте-ка мы все успокоимся. Skipper, вас устраивает приведенная мною в сообщении #411150 модель опыта?

Какая то слишком сложная у вас модель, как кажется. Зачем тут какую-то сигма-алгебру вводить и пугать людей?

Я выше привел простую модель. Нужно посчитать, чему равен предел бесконечного произведения

$(1-f(0)) * (1-f(1)) * (1-f(2))$ ... * $(1-f(N))$ ...

Это произведение стремится к 0?
при $f(N)=1/(ln N)^2$
Если стремиться, тогда количество белых шаров будет бесконечно. Если нет - тогда конечно.