Задача по теории вероятностей, про шары и ящик

[arseniiv]

(Оффтоп)

Skipper в сообщении #411185 писал(а):

$(1-f(0)) * (1-f(1)) * (1-f(2))$ ... * $(1-f(N))$ ...

Для кого я вот это писал:

Цитата:

${\color{red} \ln}^2 N$, $(1 - f(1000)) {\color{red} \cdot} (1 - f(1001))$

?

[Skipper]

Цитата:

Для кого я вот это писал

И что это?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Наведите курсор, и увидите, что надо вместо звёздочки писать и как привести логарифмы в порядок.

Я озарился насчёт составления сигма-алгебры и снова запутался.

[Skipper]

Цитата:

Я озарился насчёт составления сигма-алгебры и снова запутался.

А предел мой как посчитать? Может после этого и сигма-алгебра не нужна будет? Я же вроде все понятно растолковал, почему именно этот предел определяет решение задачи.

[Joker_vD]

Есть занумерованные ящики, в ящиках лежат черные и белые шары, причем в ящике с номером $n$ лежит $1$ белый и $f(n)$ черных шаров (в данном конкретном случае $f(n) = [\ln^2 n]$), $n \in \mathbb N$.
Опыт состоит во взятии из каждого ящика по одному шару, его исход — набор шаров. Его можно представлять как цепочку вида $BWWBBWBBBBWWWWB\dots$, т.е. как функцию $\mathbb N \to \{Black,White\}$. Тогда всего у нас имеется $2^{\mathbb N}$ исходов — и мы не можем использовать классическое определение вероятности. И пределы считать тоже не совсем понятно зачем — а ну как можно подобрать такую $f(n)$, что указанный Skipper'ом предел не будет существовать? Что тогда? "Нету вероятности"?

Ладно, насчет "не будет существовать" — это я погорячился. Для всех $f(n)$ таких, что $0 < f(n) < 1$ этот предел существует и равен нулю.

[Skipper]

Цитата:

Для всех $f(n)$ таких, что $0 < f(n) < 1$ этот предел существует и равен нулю.

Не всегда он равен нулю. Т.е. не при любых $f(N)$

[Joker_vD]

Skipper в сообщении #411220 писал(а):

Кажется, будет существовать при любой $f(n)$

Ну да! И при $f(n) = n$ тоже?

[Skipper]

Цитата:

Ну да! И при $f(n) = n$ тоже?

Я имел в виду, при $0 < f(n) < 1$.
Еще раз. Предел может быть равен а может быть и не равен нулю при разных $f(N)$.

[arseniiv]

(2 Joker_vD)

О! Я получил ненужный, но какой-то результат: для ящика с $\frac{1 - p}p$ чёрными шарами $P({1, \, 3, \, 5, \, \ldots}) = \frac 1{2 - p}$. Вероятность конечных множеств равна нулю… Счётная аддитивность от этого портится, или всё в порядке?
О, не для той сигма-алгебры считал, оказывается. Надо было для многоящечной!

[Skipper]

Хорошо, давайте посчитаем предел бесконечного произведения

$(1 - 1/10)(1 - 1/100)(1 - 1/1000)$...$(1 - 1/10^N)$...

Это произведение разве стремится к нулю? :)

Не верю. (С) Станиславский.

[Joker_vD]

Skipper в сообщении #411224 писал(а):

Еще раз. Предел может быть равен а может быть и не равен нулю при разных $f(N)$.

Мы говорим о $\prod\limits_{n=1}^{\infty} (1-f(n))$? Если о нем, то для любой функции $f(n)$, которая удовлетворяет условию $\forall n \in \mathbb N \; 0 < f(n) < 1$ это произведение равно нулю.

[Skipper]

Цитата:

Мы говорим о $\prod\limits_{n=1}^{\infty} (1-f(n))$? Если о нем, то для любой функции $f(n)$, которая удовлетворяет условию $\forall n \in \mathbb N \; 0 < f(n) < 1$ это произведение равно нулю.

Не верю. Доказательство в студию!
Я понимаю, что бесконечно много множителей, каждый из которых уменьшает это произведение, но ведь множители не константны, а сами бесконечно близко могут подходить к 1, следовательно такое произведение может бесконечно долго уменьшаться, но сходиться не к 0, а к 0,5 например.

[arseniiv]

Пусть вероятность вытащить белый шар из $k$-ого ящика равна $p_k$, а вероятность для чёрного — $q_k$. Вроде бы получим
$P({1}) = p_1 q_2 q_3 \cdots + q_1 p_2 q_3 \cdots + q_1 q_2 p_3 \cdots + \ldots$
$P({2}) = p_1 p_2 q_3 \cdots + p_1 q_2 p_3 \cdots + \ldots + q_1 p_2 p_3 \cdots + \ldots$
И чем дальше, тем страшнее. Надо воспользоваться тем, что $q_k \to 1$ при $k \to \infty$, наверно? Если бы можно было вынести (в чём сомневаюсь) $q_1 q_2 q_3 \cdots$, получились бы вероятности умножением этого выражения на в первом случае $\sum_i {\frac{p_i}{q_i}}$ (которая вроде бы должна сходиться для многих случаев), а во втором на что-то чуть сложнее, ну и так далее. Наверно, завтра кто-нибудь сможет описать всё правильно и до конца.

[Joker_vD]

Извиняюсь. Для любой монотонно убывающей $f(n)$ это произведение равно нулю.

[Skipper]

Цитата:

Извиняюсь. Для любой монотонно убывающей $f(n)$ это произведение равно нулю.

А что такое - "монотонно" убывающей?
Значит, предел бесконечного произведения

$(1 - 1/10)(1 - 1/100)(1 - 1/1000)$...$(1 - 1/10^N)$...

все таки к нулю не сходится? Это было для меня очевидно.

Ну вот. Осталось посчитать к чему сходится произведение

$\prod\limits_{n=1}^{\infty} (1-f(n))$

при нашем $f(N)=1/(ln N)^2$ . И моя задача будет решена. Если стремится к нулю, тогда мы вытащим БЕСКОНЕЧНОЕ количество белых шаров, при такой $f(N)$