Как найти точки в которых функция не диффенциабельна?

[Chromocenter]

Прежде всего это относится к функциям о двух переменных. Никак не могу найти решения для ощего случая - всюду только проверки дифференциабильности конкретных точек. помогите пожалуйста, если не очень затруднит!
Спасибо.

[Capella]

Chromocenter писал(а):

Прежде всего это относится к функциям о двух переменных. Никак не могу найти решения для ощего случая - всюду только проверки дифференциабильности конкретных точек. помогите пожалуйста, если не очень затруднит!
Спасибо.

Функция двух переменных считается уже тогда не дифференцируемой, если она хотя-бы в одной переменной не дифференцируема.
PS В что имеется ввиду для общего случая? Функция не дифференцирума, если предел бесконечность (в какой-то точке), или область определения не определена...
Да вот ещё, называется дифференцируемой, если частные производные непрерывны.

[Chromocenter]

Спасибо!
Для общего случая имел в виду в смысле когда точки, в которых надо проверять, не заданы. То есть говорят: вот функция f(x, y), найдите точки где она не диффенциабильна.
А как проверить частные производные непрерывны или нет? Их обязательно счтиать по определению? Или можно по формулам?

[Capella]

В принципе по определению можно.
Я могу вам посоветовать прочитать Демидовича на эту тему. Там не так может подробно, но если у вас математика вспомогательный предмет, то вполне достаточно. К тому-же куча примеров.

[незваный гость]

Chromocenter писал(а):

найдите точки где она не диффенциабильна.

Вы намеренно везде пишите «диффенциабильна» вместо «дифференцируема»? То есть, у Вас какое-то другое понятие имеется в виду?

Если же Вы имеете в виду обычную дифференцируемость, то она обычно проверяется по определению. Для дифферинцируемости функции одного переменного необходимо и достаточно существование (двухстороннего) предела $\frac{f(x+\delta)-f(x)}{\delta}$. Боюсь соврать, но кажется, для двух переменных достаточно существование непрерывных частных производных по обеим переменным, что и надо проверять. То есть, найти точки, где функция недифференцируема — найти точки, где либо не существуют частные производные, либо они разрывны.

[C0rWin]

незваный гость писал(а):

:evil:

Chromocenter писал(а):

найдите точки где она не диффенциабильна.

Вы намеренно везде пишите «диффенциабильна» вместо «дифференцируема»? То есть, у Вас какое-то другое понятие имеется в виду?

То есть, найти точки, где функция недифференцируема — найти точки, где либо не существуют частные производные, либо они разрывны.

Функция может иметь непрерывные частные производные и быть недефференцируемой. Как правило это проблемные точки функции в которых она не определена.

[незваный гость]

C0rWin писал(а):

Функция может иметь непрерывные частные производные и быть недефференцируемой. Как правило это проблемные точки функции в которых она не определена.

Пример можно?

[C0rWin]

f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x^2 y}}{{x^2 + y^2 }},(x,y) \ne (0,0) \\ 0,(x,y) = (0,0) \\ \end{array}

Упсс.... Сорри, после того как пример запостил, понял что тормазнул. Конечно если частные производные непрерывны то и функция дифференцируема. Еще раз извиняюсь.
Я просто имел ввиду немного другое, что если частные производные существуют в точке еще не значит, что функция дифференцируема, о чем собственно и пример.

[незваный гость]

Mathworldдает еще более экзотический пример:
$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x y (x^2-y^2)}{x^2 + y^2 },&(x,y) \ne (0,0) \\ 0,&(x,y) = (0,0) \\ \end{array}$.
Функция имеет хорошие производные, но не имеет смешанной производной.

Можно вернуться у к Вашему примеру?

C0rWin писал(а):

Как правило это проблемные точки функции в которых она не определена.

Что Вы имеете в виду («не определена»)? В примере функция всюду определена и непрерывна. Вы имеете в виду «доопределена по непрерывности»? Или Вы имеете в виду «не определена» производная?

[C0rWin]

незваный гость писал(а):

C0rWin писал(а):

Как правило это проблемные точки функции в которых она не определена.

Что Вы имеете в виду («не определена»)? В примере функция всюду определена и непрерывна. Вы имеете в виду «доопределена по непрерывности»?

Да. Ну и вообще любая дифференцируемая функция обязательно непрерына. Т.е. если и искать точки в которых функция может быть не дефференцируемой, то это как правило точки разрыва. И опять таки я по началу напутал, но вполне возможно, что функция дифференцируема, но не имеет непрерывных частных производных. Тут не существует необходимого и достаточного условия.

[Brukvalub]

Необходимое условие дифференцируемости функции нескольких переменных в точке - это наличие производных по всем направлениям в этой точке, в частности, по направлениям всех координатных осей, то есть всех частных производных. Если же все частные производные определены в некоторой окрестности точки и непрерывны в этой точке, то этого достаточно для дифференцируемости функции в этой точке.
В задачнике Демидовича есть задачи 3212.1, 3212.2. 3251, 3252,3253, в которых приведены примеры различных функций , иллюстрирующие связь между дифференцируемостью функции и свойствами ее частных производных.

[C0rWin]

Я имел ввиду, что нет условия которое бы однозначно сказало бы "тогда и только тогда".

[Brukvalub]

Я бы высказался осторожнее: мне такие (необходимые и достаточные) условия неизвестны.

[C0rWin]

Если они существуют я был бы очень рад услышать.

[Chromocenter]

C0rWin - теперь я я по вашему примеру функции вижу откуда вы... (Мне эта функция ночью скоро снится будет! )
Про производные разобрался. А после того как я их получил - не для конкретной точки, а вообще - что мне делать с этими выражениями с двумя или даже тремя перменными чтобы узнать где они не непрерывны? Брать их частные производные?
Незванный гость: под дифференциабильна подразумевал дифференцируема - просто здесь слышал только слово дифференциабильна. Сейчас поправлю.