Построение бесконечного множества с заданным свойством

[Xenia1996]

Требуется построить бесконечное (\aleph_0) множество натуральных чисел, ни одно из непустых подмножеств которого не обладает суммой элементов, являющейся степенью целого числа с натуральным показателем, большим единицы.

Сколь угодно большое конечное множество с таким свойством строится влёгкую.
Построим такое множество S из n элементов для n=2011:

Возьмём простое число p>T_{2011}, где T_{2011} - 2011-е треугольное число, и составим наше множество из чисел p, 2p, 3p, \dots , 2011p. Сумма элементов любого непустого подмножества S будет кратна p, но не будет кратна p^2, ибо даже сумма всех элементов самого S равна 2011-му треугольному числу, умноженному на p. Но по условию p>T_{2011}, а значит p^2>p\cdot T_{2011}.

А вот с бесконечным (\aleph_0) множеством с таким же свойством я залетела пролетела.

[ИСН]

С любыми степенями там как-то сложно, давайте подумаем про квадраты. Вот я возьму 2, 102, 10002... каждое число чуть больше квадрата, и притом такое большое, чтобы даже сумма всех предыдущих не дотягивала его до следующего квадрата.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #407416 писал(а):

С любыми степенями там как-то сложно, давайте подумаем про квадраты. Вот я возьму 2, 102, 10002... каждое число чуть больше квадрата, и притом такое большое, чтобы даже сумма всех предыдущих не дотягивала его до следующего квадрата.

Уже и с любыми не сложно.