Аналитическое задание функции по табличным значениям

[Werwolf]

Может ли кто-либо в каком-то математическом пакете посчитать по табличным значениям аналитическое задание функции (я надеюсь, что такая функция там присутствует). Интересно, правильно ли решил задачу.
n=1 f(1)=1/8
n=2 f(2)=41/64
n=3 f(3)=1/2
n=4 f(4)=82623/131072
n=5 f(5)=3049733/4194304
f при n={1,3} точно правильно, сильно смущает f(2).

[reader_st]

Werwolf

Что-то не понятно, если Вы имели ввиду интерполяцию, то, например, в Maple есть команда interp. Также есть функции для интерполяции методом Лагранжа и Ньютона, так что в этом случае проблем нет. Уточните задание.

[Werwolf]

Нужна не интерполяция, а возможность получить формульное задание функции в виде sin(arctg(x/3)) или что-то такое. Матпакеты на компьютере никакие не установлены, поэтому названий функций никаких не знаю.
Чтобы не выдавать информацию по частям, то задача такая. Есть речка с островами и мостиками между ними, вероятность разрушения мостика при наводнении 0.5. Какая вероятность возможности перейти с берега на берег после наводнения? Написал полный перебор, сам не пойму, правильно ли он работает. Теперь хочу узнать можна ли по этим значениям получить аналитическое задание функции-решения.

[незваный гость]

Интерполяция по пяти точкам выдаст Вам вполне аналитический полином четвертой степени.

Визуально, $f(2) = \frac{21}{64}$ подходит лучше…

[Werwolf]

А можна привести этот полином? Я посчитаю еще для n=6 и проверю.

[PAV]

Это совершенно бессмысленно. Какой бы конечный набор аргументов и значений в них Вы не задали, существует бесконечное число вполне себе аналитических функций, которые в этих самых заданных точках принимают точно эти самые значения. Таким способом решения задач не находят, можно только проверить решение, полученное другим способом.

[reader_st]

Werwolf

Вот полином четвертой степени, полученный по приведенным данным

-5166715/100663296*z^4 + 33611815/50331648*z^3 - 307204049/100663296*z^2 + 290225987/50331648*z - 13446747/4194304

построенный в Maple/interp.

Извиняюсь, что не в тэге math --- почему-то выдает ошибку, может слишком длинное выражение.

[Werwolf]

Спасибо, надежда на хороший результат не оправдалась.

[reader_st]

Werwolf

Если Вас растроил мой полином, то можно провести другую интерполяцию. Скажем построить по точкам график, выбрать вид зависимости и воспользоваться методом МНК.

Здесь я не предлагаю решение задачи по теории вероятности, а лишь по построению аналитической функции.

[ИСН]

Werwolf, над Вами тонко издеваются. Надо не интерполяциию, а как-то "угадать" общую зависимость. А так - это как если бы у Вас были несколько первых чисел Бернулли, например, или там Фибоначчи, и пытаться их интерполировать полиномом. Ни капли пользы.

[reader_st]

ИСН

А чем "гадание" отличается от интерполяции --- вдруг попадем, а видов аппроксимации много

[незваный гость]

ИСН писал(а):

Надо не интерполяциию, а как-то "угадать" общую зависимость.

Был у меня знакомый, Вася. Хороший человек, но очень уж увлекался угадыванием. Диалог выглядел примерно так:
Я: — У меня есть точка.
В: — Круто!
Я: — О. Есть еще одна.
В: — Здорово! У нас линейная зависимость от параметра!
Я: — Да, пожалуй. Слушай, а вот еще одна, посередине. Она на прямую не ложится.
В: — Ну, все равно здорово! Это же парабола!
Я: — А вот еще одна. Чего-то и с параболой плохо.
В: — А мы возьмем кубическую параболу, и все будет прекрасно!
Я: — Слушай, а вот еще пять. Тебя не смущает, что интерполяционный многочлен ведет себя как-то странно?
В: — ну...

Угадывать зависимость без каких-либо оснований — весьма неблагодарное занятие. Для интерполяции есть хотя бы точки, а вот на что опереться при определении класса подбираемых функций?

[ИСН]

Вот Вы и описали пример, когда человек занимается интерполяцией - не так, что ли?
Если нет ни асимптотик, ни намёка на возможное родство данной последовательности с известными, то мы по-любому не имеем никаких оснований. Именно так. И опереться нам толком не на что. А глядя на эту последовательность, как-то сразу не верится, что это полином (много ли Вы встречали полиномов с рациональными значениями, у которых, однако, так быстро растут числители и знаменатели?), и строить полином - можно, конечно, для отработки всех версий, но вообще-то это значит искать не где потерял, а под фонарём, где светлее.

[незваный гость]

ИСН писал(а):

Вот Вы и описали пример, когда человек занимается интерполяцией - не так, что ли?

Нет. Вася строил гипотезы, не имея никакой информации. Технически это — экстраполяция.

Здесь тоже информации предельно мало. Да, я согласен, рост знаменателей, а тем более что все они — степени двойки наводит на мысли о экспоненте. Но это, в общем-то, гипотеза, нуждающаяся в более серьезном обосновании, чем несколько дополнительных точек.

[ИСН]

Конечно, нуждающаяся. Ещё как. Ещё вся дорога впереди: угадать, подставить, проверить, обрадоваться, подставить ещё, и потом наконец честно доказать. Но согласитесь, имеется - сейчас уже, сразу, как посмотришь на цифры - некое интуитивное ощущение, что "копать надо сюда", а полиномы - мусор.