минимальный период функции

[max.is.max]

$f: \mathbb R \mapsto \mathbb R$ -непрерывная, периодическая, непостоянная.
Доказать, что существует минимальный период {T>0: f(x+T)=f(x) (для любого x)}

В общем-то должно получиться простенькое доказательство существования периода, но с чего начать?

[ewert]

max.is.max в сообщении #400640 писал(а):

с чего начать?

Наверное, с равномерной непрерывности: если бы существовал сколь угодно малый период, то и разность между максимумом и минимумом функции (а эта разность достигается на любом таком периоде) тоже была бы сколь угодно мала.

Ну или без ссылки на равномерную непрерывность, просто вручную -- построить бесконечно сужающуюся последовательность вложенных друг в друга периодов и указать на разрывность функции в предельной точке.

[max.is.max]

Не выходит доказать с учётом равномерной непрерывности.
Как записать, что

ewert в сообщении #400642 писал(а):

если бы существовал сколь угодно малый период, то и разность между максимумом и минимумом функции (а эта разность достигается на любом таком периоде) тоже была бы сколь угодно мала.

[gris]

Рискну.
Рассмотрим некоторый период $T$. Функция непрерывна на периоде, а значит достигает на нём своего максимума и минимума, которые не равны, так как функция не равна константе. Следовательно, существуют две точки, расстояние между которыми меньше $T$, а разность значений функции равна $d=M-m$, при этом $d$ не зависит от значения $T$.
Возьмём произвольный отрезок. Функция на нём непрерывна, а значит, равномерно непрерывна.Запишите условие равномерной непрерывности в терминах $\varepsilon -\delta$. И получите противоречие, взяв, например, $\varepsilon = d/2$ .

[ewert]

max.is.max в сообщении #400806 писал(а):

Не выходит доказать с учётом равномерной непрерывности.

Не выходит -- так примените второй из предложенных мной вариантов (он отчасти дублирует стандартное доказательство теоремы Кантора о равномерной непрерывности, в том смысле что идея ровно та же, но -- применяется грубее).

Я, правда, проглотил один нюанс. Подобные рассуждения (не принципиально как оформленные) доказывают, что периоды функции ограничены снизу положительным числом. Но, формально говоря, не доказывают, что минимальный период именно достигается. Ну это следует просто из соображений непрерывности: поскольку инфимум периодов сколь угодно точно можно приблизить конкретными периодами, то и сам этот инфимум -- тоже период (после пары заклинаний).

[gris]

Для периодов, которые по определению положительны, верна лемма: для любого периода, не являющегося минимальным, существует период, не больший его половины. Так что можно выбрать период достаточно малый.

[Утундрий]

Прошу прощения, уже напрочь позабыл фесь функан, но тема заинтересовала.
Итак, непрерывная, непостоянная и периодическая. Скажем, $\[\sin \left( {2\pi n x} \right)\]$. Откуда бы могла следовать невозможность перехода $\[n \to \infty \]$? Только из отсутствия у $\[\sin \left( {2\pi n x} \right)\]$ непрерывного предела?

[ewert]

Утундрий в сообщении #400876 писал(а):

Итак, непрерывная, непостоянная и периодическая. Скажем, $\[\sin \left( {2\pi n x} \right)\]$. Откуда бы могла следовать невозможность перехода $\[n \to \infty \]$? Только из отсутствия у $\[\sin \left( {2\pi n x} \right)\]$ непрерывного предела?

Нет, просто эн в этом высказывании фиксировано (иначе высказывание не имеет смысла), потому и не может ни к чему стремиться.

(и это пока ещё не функан, хотя это и не важно)

[Утундрий]

ewert
Фиксировано на чем? По условию функция периодична, с любым - в том числе и неминимальным - периодом. Например, я могу взять $\[n = 2^{2^{2^{2^2 } } } \]$ и делить на $2$ до упора в непериодичность. Оттянуть сие знаменательное событие я могу как угодно далеко, так что минимальный период будет сколь угодно меньше первоначально зафиксированного.

[ewert]

Утундрий в сообщении #400917 писал(а):

Фиксировано на чем?

Тем, что Вы взяли вполне конкретную функцию, и меньшего периода, чем он у неё есть -- у этой конкретной функции не существует. Для данного фиксированного эн.

А если Вы тот эн не фиксируете -- то и формулировка лишается смысла.

[gris]

А вот в сумме $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin 2\pi n\,x$ смысл есть. Вотъ.

[Gortaur]

Только она константа ноль.

[Утундрий]

ewert
Ну, если так до $\[10^{ - 35} \]$ м добраться можно, то на мой нематематический взгляд - никакая это не теорема

[ewert]

Ребята, вы меня просто добили. А напрасно, кстати.

[Утундрий]

ewert
Ну не вижу я в этой задаче (в текущей ее формулировке) выделенного масштаба, не вижу...