минимальный период функции

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

max.is.max в сообщении #400640 писал(а):

$f: \mathbb R \mapsto \mathbb R$ -непрерывная, периодическая, непостоянная.

Замечание не по существу: неправильная стрелочка нарисована. Надо $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Стрелка $\mapsto$ используется для указания на то, какой аргумент в какое значение переводится. Например, $f : x \mapsto f(x)$.

-- Пн янв 17, 2011 04:15:28 --

ewert в сообщении #400642 писал(а):

Наверное, с равномерной непрерывности...

Можно и без этого понятия обойтись.

Пусть $T = \{ t > 0 : (\forall x)(f(x) = f(x+t)) \}$ и $t_0 = \inf T$. Если $t_0 > 0$, то $t_0$ --- минимальный период. Если же $t_0 = 0$, то любая окрестность нуля содержит точки, на которых достигается максимум и минимум функции, что противоречит непрерывности $f$ в нуле.

[Gortaur]

При чем здесь $10^{-35}$м? Какая-то каша разведена - а между прочим, решение проблемы уже предъявлено. Если есть минимальный период - непостоянна, если нет - постоянна, толку от Ваших $\sin2\pi n x$ никакого.

[Утундрий]

Хорошо, давайте мыслить логически.
$A$ - функция непрерывная, периодическая, непостоянная.
$B$ - у функции существует минимальный ненулевой период.
Теорема $\[A \to B\]$ равносильна $\[\bar B \to \bar A\]$.
То есть, нужно показать, что из отсутствия у функции минимального ненулевого периода следует нарушение одного из трех условий: непрерывности, периодичности, постоянства.

1) Пусть период функции - нуль, тогда она постоянна. Нарушено условие непостоянности. Теорема доказана.
2) Пусть функция непериодична, тогда нарушено условие периодичности. Теорема доказана.

Гм, непрерывность можно выкинуть?

[Профессор Снэйп]

Утундрий в сообщении #400957 писал(а):

Пусть период функции - нуль, тогда она постоянна.

Чиво???

[Joker_vD]

А период вообще может быть равен нулю?

[Утундрий]

Профессор Снэйп в сообщении #400963 писал(а):

Чиво???

Ага, вот тут, видимо, и нужна непрерывность...

-- Пн янв 17, 2011 02:51:13 --

Joker_vD в сообщении #400966 писал(а):

А период вообще может быть равен нулю?

Ну, почти нулем вроде как может, а потом к пределу... И чтобы дирихли всякой не получить, а только константу, непрерывностью ее, непрерывностью.

[Профессор Снэйп]

Определение периода тогда уж дайте для начала

Мне казалось, что период --- положительное число по определению. О каком нулевом периоде здесь все талдычат?

[Утундрий]

Профессор Снэйп в сообщении #400970 писал(а):

О каком нулевом периоде здесь все талдычат?

Это не все, это я его по ходу дела придумал. Не обращайте внимания, просто мысли вслух. Потому как это вот

Профессор Снэйп в сообщении #400944 писал(а):

Пусть $T = \{ t > 0 : (\forall x)(f(x) = f(x+t)) \}$ и $t_0 = \inf T$. Если $t_0 > 0$, то $t_0$ --- минимальный период. Если же $t_0 = 0$, то любая окрестность нуля содержит точки, на которых достигается максимум и минимум функции, что противоречит непрерывности $f$ в нуле.

может и правильно, но больно уж не наглядно.

[Dan B-Yallay]

Может так нагляднее:

Пусть $f$ непрерывная, периодическая, непостоянная. Допустим она не имеет минимального периода.
Пусть $T>0$ удовлетворяет условию: $f(0)=f(T)$.
Так как минимального периода не существует, то найдется число $0<T_1<T, : f(0)=f(T_1)$ и верно $T=kT_1, \ k \in \mathbb N$.
Очевидно $f(0)=f(x_i), x_i=i\dfrac {T}{k}, \ i=1,2,3,...,k$
Предыдущее соображение применимо и к $T_1$ поэтому как следствие получаем, что $f(x)$ постоянна во всех рациональных точках.
По непрерывности она постоянна везде. Противоречие.

[lega4]

Dan B-Yallay в сообщении #400994 писал(а):

как следствие получаем, что $f(x)$ постоянна во всех рациональных точках.
По непрерывности она постоянна везде. Противоречие.

Мысль понятна, но немного неаккуратно, т.к. даже если существует бесконечно маленький период, он не обязан быть рациональным числом.