Исследовать на сходимость последовательность

[Ifreeman]

$x_{n}=\frac{1}{\sqrt{1\cdot2}}+\frac{1}{\sqrt{2\cdot3}}+\frac{1}{\sqrt{3\cdot4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n (n+1)}}$

[Bulinator]

Эта последовательность не сходится:
$\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}>\frac{1}{k+1}$

(Оффтоп)

замените $*$ на $\cdot$

[Tarinal]

расходится- признак Даламбера

[ShMaxG]

Еще можно подобрать такое $k$, чтобы $\[\frac{1} {{\sqrt {n\left( {n + 1} \right)} }} > \frac{1} {{kn}}\]$ было выполнено для любых $n \ge 1$.

[Tlalok]

Даламбера ничего не дает, т.к. в результате получим 1. А вот применить признак сравнения в предельной форме можно. Сравнивать с гармоническим рядом.

[Ifreeman]

Забудьте о рядах и Даламбере,это я не знаю. Я делал как сказал Булинатор $\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...\frac{1}{n+2+p}\ge\frac{p}{n+2+p}>$ А дальше?куда деть эту двойку?могу я ее увеличить до n или нет,n же может ровняться единице?

-- Сб янв 15, 2011 02:15:12 --

И как определить "на глаз" сходимость и не сходимость?

[Bulinator]

Ifreeman
У Вас есть Ваша послдовательность $x_n$.
Рассмотрите последовательность $y_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n+1}$.

[ShMaxG]

Ifreeman в сообщении #400175 писал(а):

И как определить "на глаз" сходимость и не сходимость?

Оо, если научитесь делать это для любого ряда -- расскажите. А так -- просто видно, что $\[\frac{1} {{\sqrt {n\left( {n + 1} \right)} }} \sim \frac{1} {n}\] $ при $\[n \to + \infty \]$, замена на эквивалентный и не сходящийся, так узнается ответ. А решить можно методами чуть проще (впрочем, в данном случае не на много проще).

[Bulinator]

(Оффтоп)

Ifreeman в сообщении #400175 писал(а):

Забудьте о рядах и Даламбере,это я не знаю.

Ужас! Кошмар! Куда катиться мир?:-)

[Tlalok]

Хорошо, на основании каких знаний Вы должны сделать вывод о расходимости данной последовательности?


Вы ряды не проходили по программе или не учили?

[Ifreeman]

Определение последовательности,сходящейся последовательности,Критерия Коши,Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности

-- Сб янв 15, 2011 02:32:38 --

Так все же эта 2 будет и там

[Bulinator]

Ifreeman
Какое 2? Что можно сказать про $x_n$ и $y_n$? Можете сравнить их?
Сходиться ли последовательность $y_n$?

[Ifreeman]

$x_{n}>y_{n}$ $\lim x_{n}>\lim y_{n}$ Хмм,ну смотрите, делая по Критерию Коши получается $\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+ ...\frac{1}{n+2+p}$ или я не прав?

[Bulinator]

Ifreeman в сообщении #400200 писал(а):

делая по Критерию Коши получается $\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+ ...\frac{1}{n+2+p}$

Можно поподробнее? Что Вы делаете по критерию Коши?

[gris]

Ну возьмите $p=n+2$.
Получим, что для любого члена последовательности существует член, больший его больше, чем на 0,5. То есть мы можем выстроить подпоследовательность, каждый член которой больше предыдущего больше, чем на 0,5. То есть неограниченно возрастающую.