Сопряженное пространство и полилинейные формы

[Xaositect]

Ну для начала рассмотрим, как можно линейный оператор на пространстве трактовать как (1,1)-полилинейную форму: каждому лин. оператору $A$ взаимно однозначно соответствует (1,1)-ПЛФ: $A(x, y) = y(Ax)$.
Точно так же любое умножение в алгебре (билинейную операцию $E\times E\to E$, например, векторное произведение) можно трактовать как (2,1)-ПЛФ: $\cdot(x_1,x_2,y) = y(x_1\cdot x_2)$

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Я тут со своими мешками и продавцами закончу

Форма валентности (2,1) это 3 пустых лота. На 2 первых - только товар, на оставшийся - только продавцы. Пусть имеем 2 мешка и продавца $x_1, x_2, y$ в этой форме. Как заиметь с этого число? Естественнло нужно к лотам с товаром подогнать продаввцов, а к лоту с продавцом - мешок с гречкой.

-- Чт янв 13, 2011 11:17:51 --

Xaositect в сообщении #399452 писал(а):

Точно так же любое умножение в алгебре (билинейную операцию $E\times E\to E$, например, векторное произведение) можно трактовать как (2,1)-ПЛФ: $\cdot(x_1,x_2,y) = y(x_1\cdot x_2)$

karlicos в сообщении #399359 писал(а):

Так по определению ПЛФ, на выход идет не вектор а элемент поля K. То есть скаляр.

[sementry]

Karlicos, мне кажется, ты путаешь ПЛФ и тензоры. В частности, векторное произведение - (2, 1)-тензор. Тензор валентности (p, q) легче всего осознать, как отображение из $T^p$ в $T^q$, где $T$ - поле. ПЛФ порядка p является тензором валентности (p, 0).
Поправьте меня, кто-нибудь умный, если я ошибаюсь

[JMH]

Мне больше нравится следующее описание линейных форм (каковое легко расширяется на полилинейные), как двойственного векторного пр-ва:

Цитата:

Рассмотрим линейные формы $f,g,...$, как новые объекты, которые быдем называть ковекторами и обозначать буквами $\mathbf{u,v},...$. Вместо $f(\mathbf{x})$ мы будем писать $\mathbf{u\cdot x}$ и называть это выражение скалярным произведением ковектора $\mathbf{u}$ на вектор $\mathbf{x}$

Эти самые ковекторы и образуют двойственное векторное пр-во...

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Когда появился термин "ковектор"? Т.е. понятно, что это сокращение от "ковариантный вектор", но когда это сокращение начало вытеснять оригинал?

[JMH]

(Оффтоп)

История термина мне неизвестна, но я бы предположил, что в конце 19-го или начале 20-го века, когда популярность линейной алгебры резко возрасла благодаря ТО. Приведенная цитата взята из "Алгебры" Ван дер Вардена, котрая писалась в 40-х, к тому времени, полагаю, термин уже прижился.