найти все гомоморфизмы из одной группы в другую

[flame19]

задание:
найти все гомоморфизмы из группы $(\mathbb E^2, \&, \not 0, f(x)=x)$ в группу $(\mathbb Q, +, 0, -)$. построить ядра гомоморфизмов.
$(\mathbb E^2, \&, \not 0, f(x)=x)$ - группа фигур на плоскости с операцией симметрической разности.

помогите пожалуйста! гомоморфизмы - моё слабое место=((

вот попытка моего решения...
симметрическая разность некой фигуры а и обратной ей фигуры f(a)=a будет равно пустой фигуре. это будет равносильно тому, что $a+(-a)=0, a \in \mathbb Q$.
ну если попытаться записать на символах, то думаю будет так:
$\not 0=h(a\&f(a))=h(a)+h(-a)=0$....
симметрическая разность некой фигуры а и пустой фигуры будет равна самой а, что равносильно $a+0=а, a \in \mathbb Q$:
$a=h(a\&\not 0)=h(a)+h(0)=a$.
вот... это пока что всё...

[paha]

Все-таки в первой группе каждый элемент имеет порядок 2... $A\& A=\emptyset$

(Оффтоп)

если я правильно понял
Это абелева группа, свободно порожденная точками плоскости и соотношениями $x\&x=\emptyset$

[flame19]

paha в сообщении #398445 писал(а):

если я правильно понял
Это абелева группа, свободно порожденная точками плоскости и соотношениями $x\&x=\emptyset$

в задании об этом ничего не сказано... но наверное, Вы правы.

[Xaositect]

paha, все так и есть.

flame19
То, что гомоморфизм - это отображение, вы вроде бы понимаете.
То, что $\varnothing$ должно при гомоморфизме переходить в $0$, вы вроде бы написали, криво, но да ладно.
Теперь возьмем произвольное множество $A$. Пусть оно при гомоморфизме переходит в рациональное число $a$. Куда тогда должно перейти множество $A\triangle A$? Чему получается равно $a$, если учесть, что $A\triangle A = \varnothing$?
(Если что, $\triangle$ - это симметрическая разность, которую вы \& обозначили)

[flame19]

Xaositect в сообщении #398466 писал(а):

paha, все так и есть.

flame19
То, что гомоморфизм - это отображение, вы вроде бы понимаете.
То, что $\varnothing$ должно при гомоморфизме переходить в $0$, вы вроде бы написали, криво, но да ладно.
Теперь возьмем произвольное множество $A$. Пусть оно при гомоморфизме переходит в рациональное число $a$. Куда тогда должно перейти множество $A\triangle A$? Чему получается равно $a$, если учесть, что $A\triangle A = \varnothing$?
(Если что, $\triangle$ - это симметрическая разность, которую вы & обозначили)

ну если подумать чисто логически, то наверное получается так:
$h(A)=a$. Тогда $\varnothing=h(A\triangle A)=h(A)+h(A)=a+a=2a$...
т.е. получается что $\varnothing$ переходит не в 0, а в какое-то рациональное число?

[paha]

flame19 в сообщении #398471 писал(а):

т.е. получается что $\varnothing$ переходит не в 0, а в какое-то рациональное число?

нет... подумайте еще раз: гомоморфизм -- это $h(a\& b)=h(a)+h(b)$...

-- Ср янв 12, 2011 00:01:05 --

flame19 в сообщении #398471 писал(а):

Тогда $\varnothing=h(A\triangle A)=h(A)+h(A)=a+a=2a$...

и это равно чему?

[Xaositect]

flame19 в сообщении #398471 писал(а):

ну если подумать чисто логически, то наверное получается так:
$h(A)=a$. Тогда $\varnothing=h(A\triangle A)=h(A)+h(A)=a+a=2a$...

Правильно. Получается, что $\varnothing$ переходит в $2a$ и, как мы уже сказали, должно переходить в $0$. Значит, как у нас соотносятся $2a$ и $0$?

А дальше надо вспомнить, что множество $A$ у нас произвольное.

[flame19]

значит $a=0$...
т.е. $h(A)=0$. значит любая фигура переходит в 0???????

[Xaositect]

Именно так, любая фигура переходит в $0$.

[flame19]

значит ответ будет выглядеть примерно так?
h - гомоморфизм.
$\not 0=h(a\&f(a))=h(a)+h(-a)=0$
$h(A)=a$. Тогда $\varnothing=h(A\triangle A)=h(A)+h(A)=a+a=2a=0$
$a=0$, следовательно $h(A)=0$
Это и будут все гомоморфизмы.

[Xaositect]

Ну да, примерно так.
Только вот то, что $h(\varnothing) = 0$ (первая строчка) так не доказывается, потому что при строгом рассмотрении получается порочный круг (впрочем это зависит от определения гомоморфизма, которое давалось) Надо делать так:
$h(a) = h(\varnothing \triangle a) = h(\varnothing) + h(a) \Rightarrow h(\varnothing) = h(a) - h(a) = 0$

[paha]

Вы все обозначения в кучу свалили(((

То, что при гомоморфизме единица группы переходит в единицу группы Вы должны знать, поэтому лучше так: $\forall a$ $0=h(\emptyset)=h(a\&a)=2h(a)\Rightarrow h(a)=0$

[flame19]

понятно) спасибо)
и последний вопрос... получается, что ядром гомоморфизма будет само множество фигур??

[Xaositect]

flame19 в сообщении #398495 писал(а):

и последний вопрос... получается, что ядром гомоморфизма будет само множество фигур??

Да.

[flame19]

ещё раз большое всем спасибо!))