фактор-группа. проверьте, пожалуйста...

[flame19]

задание: построить фактор-группу $(\mathbb Q,+,0,-)/\mathbb Z$.
решение: фактор-группа - это множество смежных классов $(\mathbb Q,+,0,-)$по$\mathbb Z$. в каждом смежном классе будут содержаться рациональные числа с одинаковой целой частью. Следовательно фактор-группа будет содержать эти классы (как записать это с помощью символов не знаю...).
проверьте, пожалуйста) заранее благодарю)

[Null]

я бы так написал $\{\{\alpha+k|k\in\mathbb{Z}\}|\alpha\in[0,1)\}$

[flame19]

Null в сообщении #398351 писал(а):

я бы так написал $\{\{\alpha+k|k\in\mathbb{Z}\}|\alpha\in[0,1)\}$

спасибо!))
а так в целом фактор-группа составлена правильно??? т.е. правильно ли найдены смежные классы??

[Joker_vD]

Надо "$\alpha \in \mathbb Q \cap [0,1)$", строго говоря.

[Null]

Joker_vD в сообщении #398383 писал(а):

Надо "$\alpha \in \mathbb Q \cap [0,1)$", строго говоря.

Да ошибся.

[flame19]

проверьте пожалуйста ещё вот такое задание...
построить фактор-группу $(\mathbb C_0, *, 1, ^{-1})/\mathbb C_1$, где $\mathbb C_0$ - ненулевые комплексные числа, а $\mathbb C_1$ - комплексные числа, модуль которых равен 1.
я вот так вот решила...
$z_1=a+bi$, $z_2=c+di$ - произвольные комплексные числа.
$z_1^{-1}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$.
$z_1^{-1}*z_2=\frac{(ac+bd)+(ad-bc)i}{a^2+b^2}$.
$z_1^{-1}*z_2 \in \mathbb C_1 $ тогда и только тогда, когда $\frac{(ac+bd)^2+(ad-bc)^2}{(a^2+b^2)^2}=1$.
Упростим это выражение:
$\frac{a^2c^2+2acbd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2}{(a^2+b^2)^2}=\frac{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2}{(a^2+b^2)^2}=\frac{a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)}{(a^2+b^2)^2}=\frac{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}{(a^2+b^2)^2}=\frac{c^2+d^2}{a^2+b^2}=1$
Значит фактор группа будет содержать в себе классы смежности, каждый из которых будет содержать комплексные числа равные по модулю.
вот. но я очень не уверена в своём решении.

[Xaositect]

Решение верное, и ответ тоже, но оно значительно проще получается, если использовать $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$
Ну и надо бы явно указать, как эти окружности (классы смежности) умножаются, в конце концов фактор-группа - это не просто множество окружностей, а множество с операцией.

[flame19]

спасибо!)
а насчёт умножения... фактор группа состоит из самого $\mathbb C_0$ и из $a\mathbb C_1; a\in\mathbb C_0$класса смежности.
Определим операцию операцию... $\mathbbC_0*\mathbbC_0=\mathbbC_0; a\mathbbC_1*\mathbbC_0=\mathbb C_0; \mathbb C_0*a\mathbb C_1=\mathbb C_0; a\mathbb C_1*a\mathbb C_1=a\mathbb C_1$.
Так??? хотя думаю, что это неверно...

[Leox]

flame19 в сообщении #399015 писал(а):

спасибо!)
а насчёт умножения... фактор группа состоит из самого $\mathbb C_0$ и из $a\mathbb C_1; a\in\mathbb C_0$класса смежности.
Определим операцию операцию... $\mathbbC_0*\mathbbC_0=\mathbbC_0; a\mathbbC_1*\mathbbC_0=\mathbb C_0; \mathbb C_0*a\mathbb C_1=\mathbb C_0; a\mathbb C_1*a\mathbb C_1=a\mathbb C_1$.
Так??? хотя думаю, что это неверно...

Нет..фактор-группа состоит из классов смежности $a\mathbb C_1$ где $a$ пробегает все действительные числа. С умножением должно быть все понятно.

[Xaositect]

Leox в сообщении #399052 писал(а):

Нет..фактор-группа состоит из классов смежности $a\mathbb C_1$ где $a$ пробегает все действительные числа. С умножением должно быть все понятно.

Не все, а только положительные действительные.

[Leox]

да, конечно :)

[flame19]

а почему действительные?? ведь у нас в группах везде даны комплексные числа, а по определению смежных классов $a$ берётся из основной группы, т.е. из $\mathbb C_0$... разве нет???

[Xaositect]

Нарисуйте эти классы смежности на комплексной плоскости и попытайтесь найти геометрический смысл этого действительного $a$.

[flame19]

я так понимаю, что это $a$ будет как раз являться модулем комплексного числа... верно? если да, то тогда определение смежного класса ставит меня в тупик... так как там говорится, что элемент $a$ берётся из основной группы, а группа по которой строим смежный класс должна быть подгруппой основной группы....

[Null]

Просто при разных $a$ могут получаться одинаковые классы, а нам нужны разные.