Кстати, с удовольствием посмотрел бы ссылку на работу, где таковая "идеальность" доказана.
Строгое обоснование и обобщение бинома Ньютона для отрицательных (то есть для всех целых) значений показателя степени проведено Маклореном ( ), для дробных (то есть всех рациональных) – Эйлером (1774) и, наконец, для всех действительных и комплексных значений показателя степени было дано Абелем (1826).
Всё ещё жду объяснения выражения "разрозненные числом".
Это выражение плод Вашей фантазии.
Иначе говоря, все результаты достигнуты классиками, а работа ничего нового не привносит?
Классики мечтали, а Клюйковы материлизовали.
Чи-во? А ну-ка, объясняйте, каким макаром "дифференцирование " даёт нам функцию
Спасибо. Мы допустили ошибку, спутав объект дифференцирования с результатом. Последнюю фразу надо читать: Получается выполнением обратной операции - дифференцированием функций.
Чего-то мне всё это напомнило.
Спасибо за труд выбора и набора цитаты.
Уважаемые математики!
Своими замечаниями Вы много внимания уделили нестыковкам, неувязкам предлагаемой Идеальной математики с обычной математикой. Мы отчётливо понимаем естественность Вашего поведения: Вы защищаете свою территорию.
Но поймите и нас. Чтобы полностью, без сучка и задоринки согласовать обе математики, надо подняться над обеими! Для авторов это непосильно. Мы делаем элементарные ошибки, за что нам стыдно. И продолжать убеждать Вас в ограниченности наших знаний – не стоит.
Цель в другом. Мы случайно открыли маленький кусочек Идеальной математики, поразились её простоте и слаженности и предложили познакомиться Вам, чтобы Вы сами оценили её полезность. Идеальная математика предлагается не взамен обычной, а в её завершение, как украшение, которое, гармонично вписываясь, объясняет, упрощает, исправляет, облегчает творение, обучение и применение обычной математики.
Давайте успокоимся и попробуем понять это. Всё, что нам открылось, мы предоставляем Вам. Там обязательно есть масса неточностей, ошибок. Наш рассказ о идеалах далеко не идеален! Направьте свои усилия на проявление пользы Идеальной математики, а не на выискивание вреда от наших ошибок. Когда и Вы поразитесь красотой Идеальной математики, тогда можно взяться и за ошибки авторов. Идеальная математика сама подсказывает, где ошибка! Мы не раз в этом убеждались. Всё что нами построено – её заслуга, она сама себя строит, а мы только путаемся и мешаем. Убедитесь же и Вы! Впутывайтесь!
В дискуссии центральное место занял вопрос «аккуратно изложенной конструкции вещественных чисел». ИЗЛАГАЕМ. А Вы будьте внимательны. Отложите на несколько минут весь багаж своих знаний обычной математики. Здесь он будет только мешать. Например, здесь нельзя делить натуральные числа, дроби не есть рациональные числа и т.п. Следите за тем, что можно. Мы старались наводить мосты между математиками, чтобы показать, что и обычная математика не лыком шита! То, что выстраивается Идеальной математикой, в большинстве своём, построено и обычной.
Итак, мы в Идеальной математике строим «конструкцию вещественных чисел».
Берём одну единицу, называем её «первозданной», так как далее не один раз будем возвращаться к ней. Складываем к ней такие же любые единицы по форме (1):
![$1+1+1+1=4$ $1+1+1+1=4$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/9/469369a33f9ad14bdc52bfdadc4a9f2782.png)
. Мы утверждаем, что так образуются все натуральные числа, то есть форма (1) обобщает их, следовательно, идеальна для натуральных чисел – первый построенный идеал! Но его автор, к сожалению, не Клюйковы, а Евклид со своим постулатом.
Можно в это поверить? Математическое доказательство идеала нельзя построить, это начало! Можно проследить последовательность построения и убедиться, что подтасовок нет. Остальное – вера! Но если Вы докажете – флаг вам в руки!
Форма (1) – прямая операция образования натуральных чисел – сложение. Как обязательная противоположность ей, существует обратная операция – вычитание единиц:
![$4-1=3$ $4-1=3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/e/a3ee83ca6fe38ead6317cffaa94861bb82.png)
;
![$3-1=2$ $3-1=2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/6/0c67c5750b6cd7561ea495f57938795682.png)
;
![$2-1=1$ $2-1=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/a/b3adec001a48b7c6353dbc9c530cfdf482.png)
. Пришли назад к первозданной единице. Выполняя далее обратную операцию над первозданной единицей и за ней, получаем обратные числа 1й ступени: ноль и отрицательные. При этом и далее никакие аксиомы не нужны. Все свойства чисел однозначно образуются сами – изменением количества (переход количества в качество).
На 2й ступени берём (как единицы) уже натуральные числа, одинаковые, и складываем по форме (2):
![$4+4+4+4+4=4\cdot5$ $4+4+4+4+4=4\cdot5$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/1/a91dd5114dc6cc93b88864605eed0f4d82.png)
. Мы утверждаем, что так образуются все целые числа, то есть форма (2) обобщает их, является идеалом целых чисел. Находим в обычной математике ближайшего автора 2го идеала, это – Коши с правилом произведения рядов. Не критикуйте нас, что в (2) нет рядов, лучше найдите другого подходящего автора. Если не найдёте, тогда напишем «форму числа предложил С.Ф.Клюйков». Первый вариант – лучше.
Форма (2) – прямая операция образования целых чисел – умножение. Как обязательная противоположность ей, существует обратная операция – деление:
![$(4\cdot5):4=5$ $(4\cdot5):4=5$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/d/31d1a1f869302560f116374da023957382.png)
;
![$5:5=1$ $5:5=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034f93a80b54074c61c3ef9ccd8f97e082.png)
. Пришли назад к первозданной единице. Выполняя далее обратную операцию над первозданной единицей и за ней, получаем обратные числа 2й ступени: дроби.
На 3й ступени берём (как единицы) уже целые числа одинаковым набором
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
из группы
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
натуральных чисел во всевозможных их сочетаниях
![$C_m^n$ $C_m^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/e/0ae5d5de2b1ce7359d895882911335a682.png)
и складываем по форме (3):
![$4\cdot5+4\cdot6+5\cdot6=\sum_3^2 l_il_j$ $4\cdot5+4\cdot6+5\cdot6=\sum_3^2 l_il_j$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/d/7ed3f5b24d6664433bf077fd1126e42982.png)
. Мы утверждаем, что так образуются все рациональные числа, то есть форма (3) обобщает их, является идеалом рациональных чисел. В обычной математике о такой операции – ни слова. Ближайшее, что мы нашли – элементарные симметрические многочлены Виета из доказательства теоремы о корнях алгебраических уравнений.
Форма (3) – прямая операция образования рациональных чисел – сочетание. Как обязательная противоположность ей, существует обратная операция –
антисочетание (в обычной математике не рассматривается) – удалением первых структурных чисел
![$l_1$ $l_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/9/469f525d671e1e96713a0a17a13f246882.png)
в целой степени
![$k_1$ $k_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/9/aa90653a26bc63b138fb304972d8158982.png)
уменьшает рациональные числа
![$\sum_m^n$ $\sum_m^n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/2/fc2795ab2e9b05d3d48dc12af86dd96c82.png)
до
![$\sum_{m-1}^{n-1}$ $\sum_{m-1}^{n-1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/7/a379f68ddf043810201aee980046778182.png)
с добавлением остаточной дроби, вплоть до первозданной единицы
![$\sum_{m-n}^{n-n}=\sum_{m-n}^0 = 1$ $\sum_{m-n}^{n-n}=\sum_{m-n}^0 = 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/e/daec8bd9467d02fa379f357471ce88a882.png)
:
![$\frac{\sum_m^n l_i^{k_1}l_j^{k_2}...l_t^{k_n}}{l_1^{k_1}}=\sum_{m-1}^{n-1} l_i^{k_2}...l_t^{k_n}+\frac{\sum_{m-1}^n l_i^{k_1}l_j^{k_2}...l_t^{k_n}}{l_1^{k_1}}$ $\frac{\sum_m^n l_i^{k_1}l_j^{k_2}...l_t^{k_n}}{l_1^{k_1}}=\sum_{m-1}^{n-1} l_i^{k_2}...l_t^{k_n}+\frac{\sum_{m-1}^n l_i^{k_1}l_j^{k_2}...l_t^{k_n}}{l_1^{k_1}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/2/c32b7e336b1dba56889e99246c42b79882.png)
.
Пришли назад к первозданной единице. Выполняя далее обратную операцию над первозданной единицей и за ней удалением первых структурных чисел
![$l_1$ $l_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/9/469f525d671e1e96713a0a17a13f246882.png)
в дробной или отрицательной степени, результат дополняется уже не остаточной дробью, а бесконечной убывающей геометрической прогрессирующей прогрессией рациональных чисел (в обычной математике рассматривается только ее простейший случай – бесконечная убывающая геометрическая прогрессия натуральных чисел), и образует
обратные числа 3й ступени – трансцендентные (типа
![$e$ $e$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cd34385ed61aca950a6b06d09fb50ac82.png)
,
![$\pi$ $\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f30fdded685c83b0e7b446aa9c9aa12082.png)
):
а) Из рационального числа
![$\sum_m^n l_i^{k_1+p}l_j^{k_2}l_t^{k_n}$ $\sum_m^n l_i^{k_1+p}l_j^{k_2}l_t^{k_n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/b/31b1304210ec4981f429876fa3c8f0fb82.png)
антисочетать его первое структурное число
![$l_1$ $l_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/9/469f525d671e1e96713a0a17a13f246882.png)
в степени
![$k_1+p$ $k_1+p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/0/e602d7021e35b6e30601c8ecce6b79d382.png)
, где
![$k_1,k_2...k_n$ $k_1,k_2...k_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/0/b904cee49f7cbb5cac092676c6c8e3c082.png)
– целые положительные числа,
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
– дробь (наиболее общий случай):
![$$\frac{\sum_m^n l_i^{k_1+p} l_j^{k_2}...l_t^{k_n}}{l_1^{k_1+p}}=\sum_{m-1}^{n-1} l_i^{k_2}...l_t^{k_n}+\frac{A_0}{B_0}\frac{\sum_{m-1}^n l_i^{k_1} l_j^{k_2}...l_t^{k_n}}{l_1^{k_1}}+\frac{A_1}{B_0}\frac{B_1\sum_{m-1}^n l_i^{k_1+1}l_j^{k_2}...l_t^{k_n}+B_2\sum_{m-1}^{n+1}l_i^1l_j^{k_1}l_f^{k_2}...l_t^{k_n}}{l_1^{k_1+1}}-$$ $$\frac{\sum_m^n l_i^{k_1+p} l_j^{k_2}...l_t^{k_n}}{l_1^{k_1+p}}=\sum_{m-1}^{n-1} l_i^{k_2}...l_t^{k_n}+\frac{A_0}{B_0}\frac{\sum_{m-1}^n l_i^{k_1} l_j^{k_2}...l_t^{k_n}}{l_1^{k_1}}+\frac{A_1}{B_0}\frac{B_1\sum_{m-1}^n l_i^{k_1+1}l_j^{k_2}...l_t^{k_n}+B_2\sum_{m-1}^{n+1}l_i^1l_j^{k_1}l_f^{k_2}...l_t^{k_n}}{l_1^{k_1+1}}-$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/d/2bdf03c0ea695f45579166c5d2f6520182.png)
![$$-\frac{A_2}{B_0}\left[\frac{B_3\sum_{m-1}^n l_i^{k_1+2}l_j^{k_2}...l_t^{k_n}+B_4\sum_{m-1}^{n+1}l_i^2l_j^{k_1}l_f^{k_2}...l_t^{k_n}}{l_1^{k_1+2}}+\frac{B_5\sum_{m-1}^{n+1} l_i^1l_j^{k_1+1}...l_t^{k_n}+B_6\sum_{m-1}^{n+2}l_i^1l_j^1l_f^{k_1}...l_t^{k_n}}{l_1^{k_1+2}}\right]+...$$ $$-\frac{A_2}{B_0}\left[\frac{B_3\sum_{m-1}^n l_i^{k_1+2}l_j^{k_2}...l_t^{k_n}+B_4\sum_{m-1}^{n+1}l_i^2l_j^{k_1}l_f^{k_2}...l_t^{k_n}}{l_1^{k_1+2}}+\frac{B_5\sum_{m-1}^{n+1} l_i^1l_j^{k_1+1}...l_t^{k_n}+B_6\sum_{m-1}^{n+2}l_i^1l_j^1l_f^{k_1}...l_t^{k_n}}{l_1^{k_1+2}}\right]+...$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/6/cb6e59ce6a1aa5849afe320ec12a52d582.png)
На 4й ступени берём (как единицы) уже рациональные числа одинаковым набором
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
из группы
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
натуральных чисел во всевозможных их размещениях с повторением
![$A_m^n$ $A_m^n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/7/7d7ad7a8c2f69127dee58417e2cfd74982.png)
и складываем по форме (4):
![$$(4+5+6)^2=\sum_3^2 l_il_j+\sum_3^2 l_jl_i+\sum_3^2 l_il_i=\underbrace{(4\cdot5+4\cdot6+5\cdot6)}_\text{сочетания}+\underbrace{(5\cdot4+6\cdot4+6\cdot5)}_\text{размещения}+\underbrace{(4\cdot4+5\cdot5+6\cdot6)}_\text{повторения}$$ $$(4+5+6)^2=\sum_3^2 l_il_j+\sum_3^2 l_jl_i+\sum_3^2 l_il_i=\underbrace{(4\cdot5+4\cdot6+5\cdot6)}_\text{сочетания}+\underbrace{(5\cdot4+6\cdot4+6\cdot5)}_\text{размещения}+\underbrace{(4\cdot4+5\cdot5+6\cdot6)}_\text{повторения}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/8/908670a15a087d0fb757875addae1f6a82.png)
или
![$$\left[4+(5+6)\right]^2=\frac{4^2}{0!}(5+6)^0+\frac{2\cdot4^1}{1!}(5+6)^1+\frac{2\cdot1\cdot4^0}{2!}(5+6)^2=\int_0 4^2d^0(5+6)+\int \left(4^2\right)'d^1(5+6)+\iint \left(4^2\right)''d^2(5+6)$$ $$\left[4+(5+6)\right]^2=\frac{4^2}{0!}(5+6)^0+\frac{2\cdot4^1}{1!}(5+6)^1+\frac{2\cdot1\cdot4^0}{2!}(5+6)^2=\int_0 4^2d^0(5+6)+\int \left(4^2\right)'d^1(5+6)+\iint \left(4^2\right)''d^2(5+6)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/6/5264c3f1c2282f559a97c7ef969306db82.png)
Мы утверждаем, что так образуются все действительные числа, то есть форма (4) обобщает их, является идеалом действительных чисел. В обычной математике это – возведение в степень
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
полинома
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
натуральных чисел, когда часть
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
членов полинома неизвестна, рассматривается как алгебраическое уравнение относительно неизвестного
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
. Ближайший автор 4го идеала – Ньютон со своим биномом.
Пример (4) наглядно демонстрирует, как выделением постоянной величины
![$y_0$ $y_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/a/14adeddbb1889c9aba973ba30e7bce7782.png)
(в примере
![$y_0=4^2$ $y_0=4^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/b/0bb6f71de5f73ee96d2a161f5fc2bd1182.png)
) и переменной величины
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
(в примере
![$x=5+6$ $x=5+6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/e/36e7ae5451b186b47d2b9ed5b909d9ce82.png)
) предложенная операция преобразуется в операции интегрирования и дифференцирования постоянной величины
![$y_0$ $y_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/a/14adeddbb1889c9aba973ba30e7bce7782.png)
по переменной
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
. Это облегчает переход на 5ю ступень, к ряду Тейлора.
Форма (4) – прямая операция образования действительных чисел. Как обязательная противоположность ей, существует обратная операция – извлечение корня полинома (в обычной математике – удаление одного из возможных корней алгебраического уравнения по схеме Горнера). Понижением степени полинома (алгебраического уравнения) обратная операция биномом Ньютона с действительными и комплексными показателями степени уменьшает действительные числа вплоть до первозданной единицы
![$\left(\sum_1^m l_i\right)^{n-n}=\left(\sum_1^m l_i\right)^0=1$ $\left(\sum_1^m l_i\right)^{n-n}=\left(\sum_1^m l_i\right)^0=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/6/8165d96c8a03a020f10e8b36a94a470882.png)
, а потом образует обратные числа – иррациональные (типа
![$\sqrt2$ $\sqrt2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/9/9193dd304ff0a7d1802310c1c08b684d82.png)
,
![$\sqrt3$ $\sqrt3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/5/745cbb03d0d11fb25e1caf6c8557bdf382.png)
) и мнимые.
Всё, что в обычной математике составляет множество вещественных чисел, сформировано. Правда, «конструкция» вышла длиной на 2 стр. Зато показано строительство не только вещественных чисел, а и натуральных, целых, рациональных, и понятно как далее будет расширяться множество чисел. Да-да, все последующие результаты идеалов можно называть не функциями, пространствами и т.п., а опять же – числами, так как закономерности их формирования одинаковы по всей математике. Отсюда – расширенное понятие числа.
Благодарим за внимание.
Особая благодарность - mkot