Вычислить момент инерции для гантели и диска

[Munin]

$R-\frac{R}{3}=\frac{R}{2}$?

[Jackey]

раз слева указана треть радиуса, значит от оси вращения до центра одна вторая радиуса

[Munin]

То есть вы всё-таки утверждаете, что $R-\frac{R}{3}=\frac{R}{2}$?

[Jackey]

да. я ошибаюсь?

[Niclax]

Браво!

[Jackey]

а что с $J_c$

[Niclax]

Может все-таки сначала с $a$ разберетесь? Приведите правило вычитания дробей.

[Jackey]

ясно $\frac{2R}{3}$

[Niclax]

Хорошо. Теперь приведите определение момента инерции для системы материальных точек, распределенных непрерывно и равномерно.

[Jackey]

Нашел это...
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется физическая величина $J_a$, равная сумме произведений масс всех $n$ материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

где:
$m_i$ — масса i-й точки,
$r_i$ — расстояние от i-й точки до оси.

[Niclax]

Это для дискретной системы. Вы из Википедии эту формулу взяли? Посмотрите там же, но чуть ниже.

[Jackey]

где:
dm = ρdV — масса малого элемента объёма тела dV,
ρ — плотность,
r — расстояние от элемента dV до оси a.

[Niclax]

Итак, давайте посчитаем по вашей формуле момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс диска. Пускай это будет ось $z$.
Поскольку диск у нас плоский, то от переменной $z$ в интеграле можем избавиться. В получившемся двойном интеграле перейдем к полярным координатам:

$J_{z} = \int\limits_{0}^{R}\int\limits_{0}^{2\pi}\rho r^2 r \, d\phi\,dr=2\pi\rho\int\limits_{0}^{R}r^3\, dr=2\pi\rho\frac{R^4}{4}=\frac{mR^2}{2}$

Это и будет Вашим $J_c$.

[Jackey]

Я сосчитал и получилось $J=\frac{13mR^2}{18}$. Какой то некрасивый ответ... хотя может он такой и есть

[Niclax]

Неправильно. Судя по ответу, Вы забыли домножить числитель второго слагаемого на двойку, когда приводили к общему знаменателю.