Функан: найти расстояние до подпространства

[exp(x)]

В пространстве $L^2$ найти расстояние от элемента $x(t) = t^2$ до подпространства $L=\{ x \in l^2(0, 1) : \int_{0}^{1}x(t)dt =0 \}$.

------------
Расстояние = $\inf_{x \in L}{\int_{0}^{1}(t^2 - x(t))^2dt}$
Учитывая, что должно выполняться $x: \int_0^1{x(t)dt}=0$ получаем задачу на условный экстремум функционала, которую я решить не могу. Просьба помочь.

[Gortaur]

В чем именно сложность? Это же вроде Лагранж.

[exp(x)]

Gortaur в сообщении #395895 писал(а):

В чем именно сложность? Это же вроде Лагранж.

Вот в этом то и сложность. Не знаком с методом Лагранжа. Если это такое стандартное явление, посоветуйте где лучше прочитать и где посмотреть примеры.

[moscwicz]

расстоянием будет модуль нулевого коэффициента Фурье функции $t^2$ (по стандартной тригонометрической системе)

-- Thu Jan 06, 2011 13:21:52 --

Gortaur в сообщении #395895 писал(а):

В чем именно сложность? Это же вроде Лагранж.

Найти расстояние от точки $(x_1,x_2,x_3)$ до плоскости $\{x_1=0\}$ О да, это Лагранж!

[Gortaur]

moscwicz в сообщении #395904 писал(а):

расстоянием будет модуль нулевого коэффициента Фурье функции $t^2$ (по стандартной тригонометрической системе)

... очевидно?

И вообще, чем плох Лагранж? Теперь что до точек - почему бы и нет? Не так уж это долго если знаешь метод.

[ewert]

exp(x) в сообщении #395890 писал(а):

В пространстве $L^2$ найти расстояние от элемента $x(t) = t^2$ до подпространства $L=\{ x \in l^2(0, 1) : \int_{0}^{1}x(t)dt =0 \}$.

Лагранж-то Лагранж, да только всё куда тривиальнее. Предложенное подпространство -- это ортогональное дополнение к тождественной единичке. Соответственно, расстояние до него -- это модуль проекции функции $t^2$ на тождественную единичку.

moscwicz в сообщении #395904 писал(а):

расстоянием будет модуль нулевого коэффициента Фурье функции $t^2$ (по стандартной тригонометрической системе)

Это несколько легкомысленно. Стандартная система -- вообще говоря, не ортонормирована. И хотя в данном случае (для отрезка единичной длины) единичка и нормирована на единицу, но тут другая беда -- в стандартной записи ряда Фурье нулевой коэффициент принять делить пополам.

[moscwicz]

Gortaur в сообщении #395918 писал(а):

И вообще, чем плох Лагранж?

хотя бы тем, что он не дает ответа на вопрос о существовании минимума

[Gortaur]

когда нужно искать минимум через производную Вы тоже не знаете ничего о его существовании. Плохой метод, не правда ли?

[ewert]

Gortaur в сообщении #395926 писал(а):

Плохой метод, не правда ли?

Дело вкуса или требований преподавателя. Однако прибегать к каким-то общим методам, когда дело сводится к тривиальному проецированию -- несколько нелепо. Вы для минимизации квадратичной формы тоже каждый раз дифференцировать будете?...

[moscwicz]

Gortaur в сообщении #395926 писал(а):

когда нужно искать минимум через производную Вы тоже не знаете ничего о его существовании. Плохой метод, не правда ли?

через производную минимум не ищут, через производную ищут множество, содержащее точки минимума (если они есть) функции
Это принципиальная вещь, если Вы предлагаете использовать метод Лагранжа, то потом извольте доказать, что Вы получили минимум, а не максимум или еще чего-нибудь, и всеравно все сведется к утверждениям из геометрии гильбертова пространства, на которые я и намекал

[exp(x)]

ewert в сообщении #395922 писал(а):

Лагранж-то Лагранж, да только всё куда тривиальнее. Предложенное подпространство -- это ортогональное дополнение к тождественной единичке. Соответственно, расстояние до него -- это модуль проекции функции $t^2$ на тождественную единичку.

Отлично. Спасибо.