Евклидовы пространства. Задачки

[caxap]

3.2. Можно ли утверждать, что в евклидовом пространстве верна теорема о 3-х перпендикулярах?

Я не уверен точно, что тут имеется в виду под ТТП. Возможно, что (см. рис) $d\perp c\iff d\perp a$ (если $b\perp d$, $b\perp c$)

Докажем $\Rightarrow$: $da=d(c+b)=dc+db=0+0=0$. Докажем $\Leftarrow$: $dc=da-db=0-0=0$.

3.3. Выясните, является ли линейное пространство $M_2(\mathbb R)$ всех квадратных матриц 2-го порядка евклидовым относительно операции
а) $(A,B)=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2+d_1d_2$,
б) $(A,B)=a_1a_2+b_1c_2+c_1b_2+d_1d_2$, где

$$A=\begin{pmatrix}a_1&b_1\\c_1&d_1\end{pmatrix};\quad{\text{{\it$B$ аналогично.}}}$$

Я проверял аксиомы скал. произведения. В а) выполняются, а в б) не выполняется аксиома неотрицательности скал. квадрата: $\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}^2=0-1-1+0=-2<0$.

3.9. В евклидовом арифметическом пространстве $\mathbb R^4$ даны векторы $a_1=(1,1,1,1)$, $a_2=(1,2,2-1)$, $a_3=(1,0,0,3)$, $y=(4,-1,-3,4)$. Найдите ортогональные проекции вектора $y$ на линейную оболочку векторов $a_1$, $a_2$, $a_3$ и ортогональное дополнение к этой лин. об.

Я думаю так: из СЛАУ $(x,a_i)=0$ ($i=1,2,3$) можно найти все векторы $x$, ортогональные к векторам $a_i$. Выбираем одно решение (назовём его $a_4$) -- это будет базис. Так как $y=y_{\parallel}+y_{\perp}=(\alpha a_1+\beta a_2+\gamma a_3)+(\delta a_4)$, то получаем СЛАУ, из которой находим $\alpha,\ldots,\delta\in\mathbb R$, а затем и $y_{\parallel},y_{\perp}$. Так можно?
Может как-то прощё можно?.

3.10. Найдите ортонормированный базис в линейном подпространстве свободных векторов, параллельных плоскости $3x-y+2z=0$.

$3x-y+2z=0$ -- это СЛАУ с 1 уравнением и 3-мя неизвестными, определяюще все векторы $(x,y,z)$, параллельные плоскости. Строим фундаментальную систему решений и ортогонализируем. Так?

[paha]

п. 3.3.а -- стандратное скалярное произведение матриц: $(A,B)={\rm Tr}AB^T$

[caxap]

Ясно, то есть 3.3 верно?

[Mathusic]

caxap в сообщении #394549 писал(а):

Ясно, то есть 3.3 верно?

3.3 a) Верно, очевидно, т.к. это пр-во изоморфно $\mathbb{R}^4$ со стандартным СП.

[paha]

Mathusic в сообщении #394553 писал(а):

т.к. это пр-во изоморфно

изометрично:)))

[Mathusic]

(Оффтоп)

paha в сообщении #394554 писал(а):

Mathusic в сообщении #394553 писал(а):

т.к. это пр-во изоморфно

изометрично:)))

Главное, вы меня поняли.
А, вообще, лучше было бы сказать, что это то же самое пр-во, просто символы не в одну строку записаны, а в 2-е.

[paha]

(Оффтоп)

Mathusic в сообщении #394563 писал(а):

Главное, вы меня поняли.
А, вообще, лучше было бы сказать, что это то же самое пр-во, просто символы не в одну строку записаны, а в 2-е.

ну... разумеется, "изометрично" тут значит "изоморфно в категории линейных пространств со скалярным произведением":))
Тут и не в две, а в $n$ строк записывать можно:) Практически, форма Киллинга:)))

[caxap]

А по остальным кто-нибудь может что-нибудь сказать?

[paha]

caxap
все задачи просто на знание определений (я прокомментировал ту, потому как это самое скалярное произведение на пространстве матриц (и даже операторов!) общеупотребимо и его следует помнить в инвариантных терминах)

[ewert]

caxap в сообщении #394461 писал(а):

3.9. В евклидовом арифметическом пространстве $\mathbb R^4$ даны векторы $a_1=(1,1,1,1)$, $a_2=(1,2,2-1)$, $a_3=(1,0,0,3)$, $y=(4,-1,-3,4)$. Найдите ортогональные проекции вектора $y$ на линейную оболочку векторов $a_1$, $a_2$, $a_3$ и ортогональное дополнение к этой лин. об.

Я думаю так: из СЛАУ $(x,a_i)=0$ ($i=1,2,3$) можно найти все векторы $x$, ортогональные к векторам $a_i$. Выбираем одно решение (назовём его $a_4$) -- это будет базис.

Увы, не будет: Ваши векторы линейно зависимы, т.е. линейная оболочка двумерна и ортогональное дополнение к нему -- соответственно, тоже. В этой ситуации проще найти ортогональный басис из двух элементов непосредственно в линейной оболочке, попросту взяв в качестве первого вектора $a_1$ и в качестве второго -- разность между $a_2$ и его проекцией на $a_1$.

[caxap]

ewert
Спасибо за проверку!

ewert в сообщении #395038 писал(а):

В этой ситуации проще найти ортогональный басис из двух элементов непосредственно в линейной оболочке, попросту взяв в качестве первого вектора $a_1$ и в качестве второго -- разность между $a_2$ и его проекцией на $a_1$.

А вот тут я не понял -- зачем нам ортогональный базис в лин. оболочке нужен?
Можно решать, как и раньше? То есть: найти фундаментальную систему решений СЛАУ $\{(x,a_1)=0;~(x,a_2)=0\}$ -- это будет базис в ортогональном дополнении, назовём базисные векторы $b_1,b_2$. Далее, $y=y_{\parallel}+y_{\perp}=(\alpha a_1+\beta a_2) +(\gamma b_1+\delta b_2)$ -- это СЛАУ из 4-х уравнений и 4-мя неизвестными. Из неё находим $\alpha,\ldots,\delta$, а затем и $y_{\parallel}$, $y_{\perp}$.

[caxap]

Получилось $b_1=(0,-1,1,0)^\top$, $b_2=(-3,2,0,1)^\top$.
$(\alpha,\beta,\gamma,\delta)=(3,-2,-2,-1)$
$y_{\parallel}=(1,-1,-1,5)^\top$, $y_{\perp}=(3,0,-2,-1)^\top$.

Вроде всё верно должно быть: $y_{\parallel}\in \operatorname{span}\{a_1,a_2\}$, $y_{\perp}\in \operatorname{span}\{b_1,b_2\}$, $y_{\parallel}+y_{\perp}=y$, $(y_{\perp},a_1)=0$, $(y_{\parallel},b_1)=0$.

А можно как нибудь то же получить, не решая 2 системы?

[ewert]

$u_1=a_1=(1,1,1,1);$
$u_2=a_2-u_1\dfrac{(a_2,u_1)}{\|u_1\|^2}=(1,0,0,3)-(1,1,1,1)\cdot\dfrac{4}{4}=(0,-1,-1,2);$

$y=(4,-1,-3,4);$
$y_{\|}=u_1\dfrac{(y,u_1)}{\|u_1\|^2}+u_2\dfrac{(y,u_2)}{\|u_2\|^2}=(1,1,1,1)\cdot\dfrac{4}{4}+(0,-1,-1,2)\cdot\dfrac{12}{6}=(1,-1,-1,5);$

$y_{\perp}=y-y_{\|}\dfrac{(y,y_{\|})}{\|y_{\|}\|^2}=(4,-1,-3,4)-(1,-1,-1,5)\cdot\dfrac{28}{28}=(3,0,-2,-1).$

(Предварительно нужно, конечно, убедиться в том, что первых два вектора образуют базис линейной оболочки, но это в любом случае необходимо сделать.)

[caxap]

ewert
А... Вот что вы имели в виду. Теперь ясно. Спасибо.