Связь замечательных пределов:)

[Dext]

LuXOR87 в сообщении #394120 писал(а):

Поздравляю с наступающим Новым 2011 Годом всех участников научного форума!

В следущем году выпускаюсь с экономфака со степенью бакалавра, хочу пересдать высшую матетатику с "четверки" на "отлично". Вот занялся разминкой мозгов с помощью классического двухтомника Н.С.Пискунова и "обламал зубы" об вот такой предел:

$\lim x\to 0$ $\left(\frac{\sin x} {x}\right)^{(1/x^2)} = e^{-1/6}$
В самом учебном пособии никаких намёков на то, как этот предел раскрыть и вычислить не нашел. У Фихтенгольца по этой теме также мне ничего не вспоминается.
Хотя формально получается очень интересная взаимосвязь двух замечательных пределов, если учесть тот факт, что:
$\lim x\to 0$ $\left(\frac{\sin x} {x}\right)^{(1/x)} = 1$
Прошу помощи в указании конкретной методики раскрытия этого предела и, если возможно, обоснования даного результата с точки зрения мат. анализа и теории действительных чисел (думаю, что выразился корректно).

Сначала надо преобразовать ко второму замечательному пределу

\[\begin{aligned}\lim\limits_{x\to0}{\!\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)\!}^{\tfrac{1}{x^2}}&=\lim\limits_{x\to0}{\left(1+\frac{\sin{x}}{x}-1\right)^{\tfrac{1}{x^2}}=\\[2pt]&={\left[\lim\limits_{x\to0}{\!\left(1+\frac{\sin{x}-x}{x}\right)\!}^{\tfrac{x}{\sin{x}-x}}\right]\!}^{\lim\limits_{x\to0}\tfrac{\sin{x}-x}{x^3}}=\\[3pt]&=\exp\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin{x}-x}{x^3}=\end{aligned}\[

Теперь - два раза пролопиталить.
Мне кажется - это рациональней, чем логарифмирование или Тейлор с остатком

[LuXOR87]

Да действительно оригинальная идея!
Однозначно проще, чем через логарифмы.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

[Legioner93]

Dext, не верю! Если помнить разложение синуса, то пример делается за 2-3 секунды в уме, вы уж извините.

[paha]

Dext в сообщении #394359 писал(а):

Теперь - два раза пролопиталить

А можно и без Лопиталя: домножить числитель и знаменатель на $x+\sin{x}$ и разложить $\cos^2{x}=(1-x^2/2)^2$

[ewert]

paha в сообщении #394929 писал(а):

А можно и без Лопиталя: домножить числитель и знаменатель на $x+\sin{x}$ и разложить $\cos^2{x}=(1-x^2/2)^2$

Щаз. А где четвёртая степень внутри скобок (в разложении косинуса)?...

Так дёшево тут не отделаешься. Если нужны два нетривиальных члена формулы Тейлора -- значит они нужны, как ни перекручивай формулу.