2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Колебания струны задаются уравнением
Сообщение28.12.2010, 14:43 
Буду очень благодарен если поможете решить данную задачу или перенаправите меня туда где объясняется как это все решается :-)
Колебания струны задаются уравнением
$\[
\frac{{\partial ^2 U}}
{{\partial t^2 }} = \frac{{\partial ^2 U}}
{{\partial x^2 }}
\]$
с начальными условиями
$\[
u(x;0) = \left\{ \begin{gathered}
  x/3;0 < x \leqslant 3 \hfill \\
  1;3 < x < 7 \hfill \\
  (10 - x)/3;7 \leqslant x < 10 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
\]$
$\[
u_t^/ (x;0) = 0.1(x - 7)
\]$
и граничными условиями
$\[
u(0;t) = u(7;t) = 0
\]$
Положим $\[
h_x  = 1
\]$
и $\[
h_1  = 1
\]$
Определить положение струны при $\[
t = 2
\]$

 
 
 
 Re: Колебания струны задаются уравнением
Сообщение28.12.2010, 14:51 
начальные условия заданы на [0,10] граничные при $x=0,7$ странно

 
 
 
 Re: Колебания струны задаются уравнением
Сообщение28.12.2010, 15:07 
Мне бы хотя бы узнать какими методами решаются задачи на колебания струны для нахождения ее положения в определнной точке... Взял бы литературу и разобрался... Но я даже незнаю как к этой задаче подойти)

 
 
 
 Re: Колебания струны задаются уравнением
Сообщение28.12.2010, 15:40 
Аватара пользователя
pisk1 в сообщении #392761 писал(а):
Взял бы литературу и разобрался...

Вы крутой ёжик, разобраться в семестровом ($n$-семестровом) курсе самостоятельно по литературе, но это и похвально.

Литература тут общеизвестна: Владимиров, Тихонов-Самарский, Морс-Фешбах, Кошляков-Глинер.

Методы тоже общеизвестны, их три: Д'Аламбера (Римана), Фурье и Грина. В вашем случае Д'Аламбер даёт наиболее прямой путь к решению, а остальные два - окольные.

 
 
 
 Re: Колебания струны задаются уравнением
Сообщение28.12.2010, 16:06 
Почему я так выразился... давно я уже это проходил, а сейчас учусь в университете на заочном отделении... все сразу не вспомнить, да и давно это было. И я очень благодарен Вам за ответ))

 
 
 
 Re: Колебания струны задаются уравнением
Сообщение28.12.2010, 16:09 
Munin в сообщении #392770 писал(а):
В вашем случае Д'Аламбер даёт наиболее прямой путь к решению,

для краевой задачи? характеристики отражать хотите? жестоко

 
 
 
 Re: Колебания струны задаются уравнением
Сообщение28.12.2010, 16:26 
Ну посоветуйте пожалуйста, какими способами ее решать... методы, подходы, последовательность... Я просто не знаю, с чего начать :-)

 
 
 
 Re: Колебания струны задаются уравнением
Сообщение28.12.2010, 16:33 
В данном случае проще всего - метод характеристик. Ищем решение в виде $u=f(x+t)+g(x-t)$. Чтобы избавиться от краевых условий, продолжим начальные данные нечетным образом "за края". Например, при $x<0$ полагаем $u(x,0)=-u(-x,0)$. Аналогично и при $x>10$.

 
 
 
 Re: Колебания струны задаются уравнением
Сообщение28.12.2010, 17:10 
Аватара пользователя
moscwicz в сообщении #392779 писал(а):
для краевой задачи? характеристики отражать хотите? жестоко

Не характеристику отражать, конечно же, а саму бегущую волну. Тут всё элементарно: если на граничное условие $u(0,t)=0$ падает волна $f(x-ct),$ то навстречу ей отражается волна $-f(-x-ct).$

Метод я выбрал, чтобы начальные условия не раскладывать по неестественному для них базису, а потом собирать обратно. Разумеется, решение так тоже будет найдено, но дольше, что я и назвал "обходным путём".

sup в сообщении #392785 писал(а):
Чтобы избавиться от краевых условий, продолжим начальные данные нечетным образом "за края".

Можно и так, да. Вот только там ещё начальная производная задана, с ней надо аккуратненько.

 
 
 
 Re: Колебания струны задаются уравнением
Сообщение28.12.2010, 20:41 

(Оффтоп)

Munin в сообщении #392807 писал(а):
Не характеристику отражать, конечно же, а саму бегущую волну.

ну это что в лоб что по лбу

 
 
 
 Re: Колебания струны задаются уравнением
Сообщение28.12.2010, 21:56 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

moscwicz в сообщении #392920 писал(а):
ну это что в лоб что по лбу

Не знаю. Что такое "отражать характеристику", мне неведомо, а как отражается волна, во многих случаях хорошо известно. Поэтому и уточнил. Если вы дефинируете "отражать характеристику" как "отражать волну", то да, именно это я и предлагаю, и абсолютно ничего жестокого в этом не вижу, напротив, простейший подход к такой задаче с кусочно-линейными условиями.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group