Колебания струны задаются уравнением

[pisk1]

Буду очень благодарен если поможете решить данную задачу или перенаправите меня туда где объясняется как это все решается
Колебания струны задаются уравнением
$\[ \frac{{\partial ^2 U}} {{\partial t^2 }} = \frac{{\partial ^2 U}} {{\partial x^2 }} \]$
с начальными условиями
$\[ u(x;0) = \left\{ \begin{gathered} x/3;0 < x \leqslant 3 \hfill \\ 1;3 < x < 7 \hfill \\ (10 - x)/3;7 \leqslant x < 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$
$\[ u_t^/ (x;0) = 0.1(x - 7) \]$
и граничными условиями
$\[ u(0;t) = u(7;t) = 0 \]$
Положим $\[ h_x = 1 \]$
и $\[ h_1 = 1 \]$
Определить положение струны при $\[ t = 2 \]$

[moscwicz]

начальные условия заданы на [0,10] граничные при $x=0,7$ странно

[pisk1]

Мне бы хотя бы узнать какими методами решаются задачи на колебания струны для нахождения ее положения в определнной точке... Взял бы литературу и разобрался... Но я даже незнаю как к этой задаче подойти)

[Munin]

pisk1 в сообщении #392761 писал(а):

Взял бы литературу и разобрался...

Вы крутой ёжик, разобраться в семестровом ($n$-семестровом) курсе самостоятельно по литературе, но это и похвально.

Литература тут общеизвестна: Владимиров, Тихонов-Самарский, Морс-Фешбах, Кошляков-Глинер.

Методы тоже общеизвестны, их три: Д'Аламбера (Римана), Фурье и Грина. В вашем случае Д'Аламбер даёт наиболее прямой путь к решению, а остальные два - окольные.

[pisk1]

Почему я так выразился... давно я уже это проходил, а сейчас учусь в университете на заочном отделении... все сразу не вспомнить, да и давно это было. И я очень благодарен Вам за ответ))

[moscwicz]

Munin в сообщении #392770 писал(а):

В вашем случае Д'Аламбер даёт наиболее прямой путь к решению,

для краевой задачи? характеристики отражать хотите? жестоко

[pisk1]

Ну посоветуйте пожалуйста, какими способами ее решать... методы, подходы, последовательность... Я просто не знаю, с чего начать

[sup]

В данном случае проще всего - метод характеристик. Ищем решение в виде $u=f(x+t)+g(x-t)$. Чтобы избавиться от краевых условий, продолжим начальные данные нечетным образом "за края". Например, при $x<0$ полагаем $u(x,0)=-u(-x,0)$. Аналогично и при $x>10$.

[Munin]

moscwicz в сообщении #392779 писал(а):

для краевой задачи? характеристики отражать хотите? жестоко

Не характеристику отражать, конечно же, а саму бегущую волну. Тут всё элементарно: если на граничное условие $u(0,t)=0$ падает волна $f(x-ct),$ то навстречу ей отражается волна $-f(-x-ct).$

Метод я выбрал, чтобы начальные условия не раскладывать по неестественному для них базису, а потом собирать обратно. Разумеется, решение так тоже будет найдено, но дольше, что я и назвал "обходным путём".

sup в сообщении #392785 писал(а):

Чтобы избавиться от краевых условий, продолжим начальные данные нечетным образом "за края".

Можно и так, да. Вот только там ещё начальная производная задана, с ней надо аккуратненько.

[moscwicz]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #392807 писал(а):

Не характеристику отражать, конечно же, а саму бегущую волну.

ну это что в лоб что по лбу

[Munin]

(Оффтоп)

moscwicz в сообщении #392920 писал(а):

ну это что в лоб что по лбу

Не знаю. Что такое "отражать характеристику", мне неведомо, а как отражается волна, во многих случаях хорошо известно. Поэтому и уточнил. Если вы дефинируете "отражать характеристику" как "отражать волну", то да, именно это я и предлагаю, и абсолютно ничего жестокого в этом не вижу, напротив, простейший подход к такой задаче с кусочно-линейными условиями.