Сходимость ряда

[Hitp]

1) Исследовать на абсолютную и условную сходимость $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaabCaeaaca % GGOaGaeyOeI0IaaGymaiaacMcadaahaaWcbeqaaiaad6gacqGHRaWk % caaIXaaaaaqaaiaad6gacqGH9aqpcaaIXaaabaGaeyOhIukaniabgg % HiLdGccaGGOaWaaSaaaeaacaaIYaGaamOBaaqaaiaaikdacaWGUbGa % ey4kaSIaaGymaaaacaGGPaWaaWbaaSqabeaacaWGUbWaaWbaaWqabe % aacaaIYaaaaaaaaaa!4A14! \[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{( - 1)}^{n + 1}}} {(\frac{{2n}}{{2n + 1}})^{{n^2}}}\]$.
Предел модуля ряда в признаке Коши равен 1 ,больше тут вроде ничего применить нельзя. Могу ли я сказать, что ряд расходится, так как его предел равен 1?

2) $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaabCaeaada % Wcaaqaaiaad6gacqGHRaWkcaaIXaaabaWaaOaaaeaacaWGUbaaleqa % aOGaey4kaSIaamyAaiaad6gaaaaaleaacaWGUbGaeyypa0JaaGymaa % qaaiabg6HiLcqdcqGHris5aaaa!4264! \[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{n + 1}}{{\sqrt n + in}}} \]$ . Упрощаю:
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaabCaeaada % Wcaaqaaiaad6gacqGHRaWkcaaIXaaabaWaaOaaaeaacaWGUbaaleqa % aOGaey4kaSIaamyAaiaad6gaaaaaleaacaWGUbGaeyypa0JaaGymaa % qaaiabg6HiLcqdcqGHris5aOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaGGOaGaamOB % aiabgUcaRiaaigdacaGGPaGaaiikamaakaaabaGaamOBaaWcbeaaki % abgkHiTiaadMgacaWGUbGaaiykaaqaaiaad6gacqGHRaWkcaWGUbWa % aWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaakiabg2da9maalaaabaWaaOaaaeaaca % WGUbaaleqaaOGaeyOeI0IaamyAaiaad6gaaeaacaWGUbaaaiabg2da % 9maalaaabaGaaGymaaqaamaakaaabaGaamOBaaWcbeaaaaGccqGHsi % slcaWGPbaaaa!5B1A! \[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{n + 1}}{{\sqrt n + in}}} = \frac{{(n + 1)(\sqrt n - in)}}{{n + {n^2}}} = \frac{{\sqrt n - in}}{n} = \frac{1}{{\sqrt n }} - i\]$ $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca % aIXaaabaWaaOaaaeaacaWGUbaaleqaaaaaaaa!375B! \[\frac{1}{{\sqrt n }}\]$ я могу считать расходящимся, так как 1/2<1. Как можно учесть мнимую часть?

[Padawan]

1) $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{(\frac{2n}{2n+1})^{n^2}}=?$

[Hitp]

$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaCbeaeaaci % GGSbGaaiyAaiaac2gaaSqaaiaad6gacqGHsislcqGH+aGpcqGHEisP % aeqaaOGaaiikamaalaaabaGaaGOmaiaad6gaaeaacaWGUbGaaiikai % aaikdacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaWGUbaaaiaacMcaaaGa % aiykamaaCaaaleqabaGaamOBaaaakiabg2da9iaaigdaaaa!4899! \[\mathop {\lim }\limits_{n - > \infty } {(\frac{{2n}}{{n(2 + \frac{1}{n})}})^n} = 1\]$

[ИСН]

Упростим вопрос. А такой вот - $\lim\limits_{n\to\infty }\left(1+{1\over n}\right)^n$ - это чо?

[Hitp]

экспонента
значит у меня тогда получится $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca % aIXaaabaGaamyzaaaaaaa!3737! \[\frac{1}{e}\]$?

[ИСН]

Так, движемся в правильную сторону. А такой - $\lim\limits_{n\to\infty }\left(1+{2\over n}\right)^n$ - он как?

[Hitp]

$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyzamaaCa % aaleqabaGaaGOmaaaaaaa!3755! \[{e^2}\]$

[ИСН]

Ага, хорошо. Теперь аккуратно разберите свой случай.

[Hitp]

в моем 1) получится $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca % aIXaaabaWaaOaaaeaacaWGLbaaleqaaaaaaaa!3752! \[\frac{1}{{\sqrt e }}\]$<1 значит сходится абсолютно

[ИСН]

То-то же.

-- Пн, 2010-12-27, 23:33 --

Со вторым всё понятно?

[Hitp]

Могу ли я сказать, что так как $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fsY-rqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca % aIXaaabaWaaOaaaeaacaWGUbaaleqaaaaaaaa!375B! \[\frac{1}{{\sqrt n }}\]$ расходится и i не стремится к нулю, то ряд расходится?

[ИСН]

Можете.

[RIP]

Только расходимость $1/\sqrt n$ здесь вообще не при чём.

[ewert]

Hitp в сообщении #392526 писал(а):

Упрощаю:

Напротив, усложняете. Тривиально общий член стремится к некоей константе, откуда и. Впрочем, не исключено, что Вы хвостик корня вправо не дотянули; ну тем хуже. В общем, с какой стороны ни глянь -- задачка нелепа.