2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Нужны ли нам натуральные числа?
Сообщение21.12.2010, 16:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Традиционно натуральными называются целые положительные числа $\{1,2,3,...\}$ множество коих обозначается знаком $\mathbb N$. Этому нас учат в школе. Но в XIX веке появилось новое определение натуральных чисел. А именно -- натуральными стали называть целые неотрицательные числа $\{0,1,2,...\}$. Во многих случаях новое определение оказалось удобнее старого и стало широко применяться в математических текстах.

Одновременное существование двух определений натурального числа неизбежно привело к путанице и непониманию. Чтобы быть понятыми правильно, авторы стали избегать использования этого термина, заменяя его неуклюжими выражениями "целое положительное число" либо "целое неотрицательное число".

Это привело к тому,что в современных математических текстах практически не встречается термин "натуральное число".

В связи с этим и возникает вопрос: а нужно ли нам понятие натурального числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужны ли нам натуральные числа?
Сообщение21.12.2010, 17:12 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
whitefox в сообщении #389834 писал(а):
В связи с этим и возникает вопрос: а нужно ли нам понятие натурального числа?

Нужно как минимум по двум причинам.

1. Историческая: без них становится менее понятной сама логика возникновения других числовых множеств.

2. Теоретико-множественная: понятие счётности основывается именно на натуральных числах, и это достаточно принципиально.

Може, кто и ещё чего вспомнит. А что до путаницы -- так это как раз неважно, мало ли в математике терминологической путаницы. Скажем, с компактностью или с гильбертовостью. И ничего, живут как-то люди.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужны ли нам натуральные числа?
Сообщение21.12.2010, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Ну что же. Этих двух доводов вполне достаточно.

Но тогда возникает другой вопрос: а какое определение из двух нам нужно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужны ли нам натуральные числа?
Сообщение22.12.2010, 09:35 
Аватара пользователя


22/12/10
264
Во многих работах встречаю использование $\mathbb{N}=\{1,2,3\dots\}$ и $\mathbb{N}_0=\{0\}\cup\mathbb{N}$. Множеством натуральных чисел называется первое, второе — «целые неотрицательные». По-моему, самое то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужны ли нам натуральные числа?
Сообщение22.12.2010, 10:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
А во многих других работах встречаются обозначения: $\mathbb N_1=\{1,2,3,...\}$ и $\mathbb N_0=\{0,1,2,...\}$. Но сам термин "натуральное число" авторы не используют, называя первое множество -- "целые положительные числа", а второе -- "целые неотрицательные числа". Что, ИМХО, выглядит очень неуклюже.

Также встречаются обозначения $\mathbb Z_0$, $\mathbb Z^0$, $\mathbb Z_+$, $\mathbb Z^+$, $\mathbb W$ и многие другие для множества $\{0,1,2,...\}$. Множество $\{1,2,3,...\}$ иногда обозначают $\mathbb N^*$.

Не пора ли во всём этом навести порядок и придти к единому стандарту?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужны ли нам натуральные числа?
Сообщение22.12.2010, 14:46 
Аватара пользователя


22/12/10
264
Это было бы хорошо, только это невозможно. Во-первых, это далеко не единственная неоднозначность в обозначениях/терминах. Во-вторых, часто математики «любят» свои обозначения и «не любят» другие. Скажем, в моей alma mater было два доктора наук, один говорил «векторные пространства», другой — «линейные пространства» (это одно и то же, если кто не знает). Каждый из них выгонял с семинаров аспирантов, осмелившихся использовать «чужой» термин. Они приводили какие-то причины, но, насколько я понимаю, на самом деле дело было просто в том, что эти два профессора когда-то очень давно поссорились и с тех пор друг с другом не разговаривали. Вот и вводите стандартизацию в таких условиях :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужны ли нам натуральные числа?
Сообщение22.12.2010, 19:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Да согласен. Идеал в принципе не достижим. Но, ведь, к нему можно стремиться? :-) И почему бы не начать с натуральных чисел? :-)

История с профессорами поучительна, но только там ситуация несколько иного рода. Там одна сущность имеет два имени, что не является большой бедой. С натуральными же числами -- две разные сущности имеют одно и тоже имя, а это уже беда.

В англоязычной литературе, имхо, стандарт де-факто уже начинает просматриваться. Там всё чаще для обозначения целых неотрицательных чисел используется термин whole (впрочем, его иногда используют и для обозначения целых положительных или даже всего множества целых чисел).

Не пора ли и нам придумать специальный термин для обозначения целых неотрицательных чисел, а термин "натуральные числа" закрепить за целыми положительными :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужны ли нам натуральные числа?
Сообщение22.12.2010, 21:23 
Заблокирован


03/09/06

188
Украина, г. Харьков
whitefox в сообщении #389834 писал(а):
Традиционно натуральными называются целые положительные числа $\{1,2,3,...\}$ множество коих обозначается знаком $\mathbb N$. Этому нас учат в школе. Но в XIX веке появилось новое определение натуральных чисел. А именно -- натуральными стали называть целые неотрицательные числа $\{0,1,2,...\}$. Во многих случаях новое определение оказалось удобнее старого и стало широко применяться в математических текстах.

Одновременное существование двух определений натурального числа неизбежно привело к путанице и непониманию.


Случайно зашел на список Дискуссионные темы (М) и совершенно случайно над списком заметил
подфорум: Великая теорема Ферма

раздел для тех, кто хочет найти короткое и красивое док-во ВТФ:
Для любого натурального $n>2$ уравнение $a^n+b^n=c^n$ не имеет натуральных решений $a$, $b$ и $c$

Воспользовавшись лишь новым определением натуральных чисел, нашел (средствами XIX века!) самое короткое и самое красивое доказательство ошибочности этого утверждения.
(подробности можно будет узнать только после опубликования моего решения-тчк)

Вывод: Одновременное существование двух определений натурального числа неизбежно привело к путанице и непониманию. А также, к искажению (к низвержению) ранее установленных истин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужны ли нам натуральные числа?
Сообщение22.12.2010, 21:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
whitefox в сообщении #390167 писал(а):
Не пора ли во всём этом навести порядок и придти к единому стандарту?

а Вам, товарищ, не все ли равно? К математике это не имеет никакого отношения

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужны ли нам натуральные числа?
Сообщение22.12.2010, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546

(Оффтоп)

Лично мне это, конечно, по-барабану. :lol: Просто жалко стало отдельных участников, посещающих этот форум, и страшно удивляющихся когда им сообщают, что ноль это натуральное число.

Не так давно с одним ферматучастником даже истерика приключилась.

2 paha:
А почему Вы считаете, что натуральные числа не относятся к математике? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужны ли нам натуральные числа?
Сообщение22.12.2010, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
whitefox в сообщении #390433 писал(а):
А почему Вы считаете, что натуральные числа не относятся к математике?

споры о стандартах не имеют отношения, не передергивайте

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужны ли нам натуральные числа?
Сообщение23.12.2010, 00:05 


20/12/09
1527
Поддерживаю paha: математики не занимаются такой чепухой.

По теме: от лишнего термина никому еще худо не было.
Чтобы другим людям были понятны Ваши тексты, нужна избыточная информация, переопределение и масло-масляное:
"натуральное, то есть целое положительное"
или "натуральное, то есть целое положительное или ноль".
Но ноль обычно не причисляют к натуральным, автора текста посчитают неграмотным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужны ли нам натуральные числа?
Сообщение23.12.2010, 00:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
paha в сообщении #390436 писал(а):
споры о стандартах не имеют отношения

Половина дискуссий на этом форуме сводится к тому -- как участники понимают то или иное стандартное определение. :-)

Так почему же стандартные определения не имеют отношения к математике?
Ales в сообщении #390447 писал(а):
Но ноль обычно не причисляют к натуральным, автора текста посчитают неграмотным.

А это смотря на какую тему пишет автор. В теории множеств, например, или в теории алгоритмов его скорее сочтут безграмотным если он не отнесёт ноль к натуральным числам.

Или если автор пишет по английски -- в англоязычной литературе ноль, обычно, натуральное число.
Ales в сообщении #390447 писал(а):
математики не занимаются такой чепухой.

Под чепухой Вы понимаете -- давать определения? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужны ли нам натуральные числа?
Сообщение23.12.2010, 01:06 


20/12/09
1527
whitefox в сообщении #390481 писал(а):
А это смотря на какую тему пишет автор. В теории множеств, например, или в теории алгоритмов его скорее сочтут безграмотным если он не отнесёт ноль к натуральным числам.

Или если автор пишет по английски -- в англоязычной литературе ноль, обычно, натуральное число.

Понятное дело: любой текст подразумевает адресата.
То англичане.
А у нас все привыкли, что натуральные - целые положительные.

whitefox в сообщении #390481 писал(а):
Под чепухой Вы понимаете -- давать определения?

Чепуховый вопрос: включать ли ноль в натуральные или нет, использовать ли термин натуральные или нет.
Но если лень или опасно заниматься настоящими вопросами, то можно и в такие играться.
Вроде бы математика, но мозги напрягать не надо.

-- Чт дек 23, 2010 01:15:30 --

Вот если бы Вы спросили: "нужны ли нам "ненатуральные" числа?". Это был бы на мой взгляд серьезный вопрос.
Или так: "все ли, так называемые, натуральные числа являются таковыми"?
Но это тоже уже не математика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужны ли нам натуральные числа?
Сообщение23.12.2010, 01:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Ales в сообщении #390483 писал(а):
Чепуховый вопрос: включать ли ноль в натуральные или нет, использовать ли термин натуральные или нет.
Но если лень или опасно заниматься настоящими вопросами, то можно и в такие играться.
Вроде бы математика, но мозги напрягать не надо.

Да полно-те. Каму как не крупным математикам писать математические энциклопедии, решая тысячи подобных "чепуховых" вопросов?

Или эту работу должны выполнять дилетанты? :-)

Согласен это скучно, и хочется заняться чистой математикой, но это необходимо.

А вот дилетанты, как раз, и любят "настоящие вопросы" вроде ВТФ. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group