Треугольные числа, интересная закономерность

[Xenia1996]

Если треугольное число умножить на 9 и затем прибавить 1, снова получается треугольное число.
Верно и обратное: если треугольное число имеет вид $9n+1$, где n - натуральное, то n - обязательно треугольное.
Кроме $9n+1$ этой закономерности подчинены также $25n+3, 49n+6, 81n+10, \dots,(2m+1)^2+T_m, \dots$ Скажем, если треугольное число умножить на 121 и затем прибавить 15, опять получаем треугольное число.
В чём тут секрет?

[Руст]

Если $T_k=\frac{k(k+1)}{2}$ - k ое треугольное число, то легко проверяется, что

$$(2m+1)^2T_k+T_m=T_{(2m+1)k+m}.$$

[Xenia1996]

Руст в сообщении #388340 писал(а):

Если $T_k=\frac{k(k+1)}{2}$ - k ое треугольное число, то легко проверяется, что

$$(2m+1)^2T_k+T_m=T_{(2m+1)k+m}.$$

А как же обратное утверждение?

[Батороев]

$T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
$a= 9T_n+1=\dfrac{9n^2+9n+2}{2}$
Теперь, чтобы полученное число $a$ было треугольным,
должно выполняться равенство в натуральных числах:
$8a+1=m^2$.
Действительно:
$8\cdot \dfrac{9n^2+9n+2}{2}+1=(6n+3)^2$$

-- 17 дек 2010 16:22 --

Если $9n+1$ - треугольное число, то
$8\cdot (9n+1)+1=k^2$
$k^2=72n+9=3^2\cdot (8n+1)$
Откуда видно, что $n$ - тоже треугольное число.

[Батороев]

В общем случае, если $(2m+1)^2\cdot n+T_m$ (1) -
треугольное число, то с учетом того, что $(2m+1)^2=8T_m+1$,
должно выполняться равенство:
$ 8[(8T_m+1)\cdot n+T_m]+1=k^2$
$(8T_m+1)(8n+1)=k^2$,
откуда видно, что $n$ - тоже треугольное число
и наоборот, если $n$ - треугольное число, то выражение (1) - также треугольное число.