2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Треугольные числа, интересная закономерность
Сообщение17.12.2010, 11:45 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Если треугольное число умножить на 9 и затем прибавить 1, снова получается треугольное число.
Верно и обратное: если треугольное число имеет вид $9n+1$, где n - натуральное, то n - обязательно треугольное.
Кроме $9n+1$ этой закономерности подчинены также $25n+3, 49n+6, 81n+10, \dots,(2m+1)^2+T_m, \dots$ Скажем, если треугольное число умножить на 121 и затем прибавить 15, опять получаем треугольное число.
В чём тут секрет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные числа, интересная закономерность
Сообщение17.12.2010, 11:57 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Если $T_k=\frac{k(k+1)}{2}$ - k ое треугольное число, то легко проверяется, что
$$(2m+1)^2T_k+T_m=T_{(2m+1)k+m}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные числа, интересная закономерность
Сообщение17.12.2010, 12:00 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Руст в сообщении #388340 писал(а):
Если $T_k=\frac{k(k+1)}{2}$ - k ое треугольное число, то легко проверяется, что
$$(2m+1)^2T_k+T_m=T_{(2m+1)k+m}.$$

А как же обратное утверждение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные числа, интересная закономерность
Сообщение17.12.2010, 12:10 


23/01/07
3420
Новосибирск
$T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
$a= 9T_n+1=\dfrac{9n^2+9n+2}{2}$
Теперь, чтобы полученное число $a$ было треугольным,
должно выполняться равенство в натуральных числах:
$8a+1=m^2$.
Действительно:
$8\cdot \dfrac{9n^2+9n+2}{2}+1=(6n+3)^2$$

-- 17 дек 2010 16:22 --

Если $9n+1$ - треугольное число, то
$8\cdot (9n+1)+1=k^2$
$k^2=72n+9=3^2\cdot (8n+1)$
Откуда видно, что $n$ - тоже треугольное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные числа, интересная закономерность
Сообщение17.12.2010, 13:21 


23/01/07
3420
Новосибирск
В общем случае, если $(2m+1)^2\cdot n+T_m$ (1) -
треугольное число, то с учетом того, что $(2m+1)^2=8T_m+1$,
должно выполняться равенство:
$ 8[(8T_m+1)\cdot n+T_m]+1=k^2$
$(8T_m+1)(8n+1)=k^2$,
откуда видно, что $n$ - тоже треугольное число
и наоборот, если $n$ - треугольное число, то выражение (1) - также треугольное число.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group