2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неподвижная точка
Сообщение15.12.2010, 00:45 
Вроде бы простая задача: Есть множество $$X = \{(x1,x2)\,:\,x1=x2,\, x1,x2 \in [-1,1]\} \cup \{(x1,x2)\,:\,x1=-x2,\, x1,x2 \in [-1,1]\}$$, функция $f$ -- непрерывное отображение $X\to X$. Надо показать, что у $f$ есть неподвижная точка.
Хороша теорема Брауэра, но не подходит...
Подскажите, как это показать...

(Оффтоп)

это, наверное, просто, что-то ничего не лезет..

 
 
 
 Re: Неподвижная точка
Сообщение15.12.2010, 01:00 
Аватара пользователя
Ваш крест стягиваем, поэтому любое непрерывное отображение гомотопно постоянному, поэтому число Лефшеца любого непрерывного отображения равно 1, поэтому есть неподвижные точки

 
 
 
 Re: Неподвижная точка
Сообщение15.12.2010, 02:35 
cyb12 в сообщении #387610 писал(а):
Хороша теорема Брауэра, но не подходит...
Ну, зачем так сразу? Ясно, что ваш крест есть ретракт квадрата, куда он вписан. Пусть $r$ - эта ретракция. Тогда композиция $fr$ - это непрерывное отображение квадрата в себя, которое по теореме Брауэра имеет неподвижную точку. Ясно, что эта точка и есть неподвижная точка отображения $f$, которую мы искали.

 
 
 
 Re: Неподвижная точка
Сообщение15.12.2010, 06:17 
Аватара пользователя
cyb12 в сообщении #387610 писал(а):
Подскажите, как это показать...
Из центра креста идите в сторону своего образа.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group