Неподвижная точка

[cyb12]

Вроде бы простая задача: Есть множество

$$X = \{(x1,x2)\,:\,x1=x2,\, x1,x2 \in [-1,1]\} \cup \{(x1,x2)\,:\,x1=-x2,\, x1,x2 \in [-1,1]\}$$

, функция $f$ -- непрерывное отображение $X\to X$. Надо показать, что у $f$ есть неподвижная точка.
Хороша теорема Брауэра, но не подходит...
Подскажите, как это показать...

(Оффтоп)

это, наверное, просто, что-то ничего не лезет..

[paha]

Ваш крест стягиваем, поэтому любое непрерывное отображение гомотопно постоянному, поэтому число Лефшеца любого непрерывного отображения равно 1, поэтому есть неподвижные точки

[neo66]

cyb12 в сообщении #387610 писал(а):

Хороша теорема Брауэра, но не подходит...

Ну, зачем так сразу? Ясно, что ваш крест есть ретракт квадрата, куда он вписан. Пусть $r$ - эта ретракция. Тогда композиция $fr$ - это непрерывное отображение квадрата в себя, которое по теореме Брауэра имеет неподвижную точку. Ясно, что эта точка и есть неподвижная точка отображения $f$, которую мы искали.

[TOTAL]

cyb12 в сообщении #387610 писал(а):

Подскажите, как это показать...

Из центра креста идите в сторону своего образа.