Предел монотонной последовательности (оценить близость)

[Gortaur]

Добрый день. Есть последовательность $x_0\leq x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n \leq ...$. Кроме того, все члены последовательности ограничены сверху: $x_n\leq M$ для всех $n$. Очевидно, что существует конечный предел, назовем его $x$.
Вопрос: как посчитать насколько далеко мы от данного предела? Его существование доказывается от противного, то есть конструктивного доказательства нет.
Есть идея такая, пусть $\Delta_n = x_{n+1} - x_n$, тогда если (i)$\Delta_n \leq y_n$ и ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty y_n$ сходится, то

$$x-x_n \leq \sum\limits_{k=n}^\infty y_k.$$

С другой стороны, если последовательность не удовлетворяет условию (i), какие методы Вы посоветуете?

[gris]

Я думаю, что никакой оценки близости, кроме разности $M-x_n$ нет , да и эта оценка сверху может оказаться слишком уж сверху. Дело в том, что любой сходящийся ряд мы можем сколь угодно растянуть, многократно продублировав несколько его членов, и замедлить сходимость во сколько угодно раз.

[Joker_vD]

(здесь было невнимательное прочтение первого поста)

А никак. На практике останавливаются, когда $\Delta_n$ достаточно мало.

[ewert]

Gortaur в сообщении #386493 писал(а):

Вопрос: как посчитать насколько далеко мы от данного предела?

Никак, если нет априорной информации о типе последовательности.

Чаще всего на практике последовательность сходится или степенным образом, или как геометрическая прогрессия. Тогда работает правило Рунге: во втором случае погрешность оценивается через разность двух соседних членов, в первом -- через разность членов с номерами $n=2^{k}$ и $n=2^{k+1}$. Практически это работает вполне надёжно, но для того, чтобы эти оценки были формально строгими -- требуется опять-таки дополнительная информация типа монотонности чего-нибудь там.

[Gortaur]

Спасибо за советы - вообще, априорное знание о последовательности есть. Я эту тему поднимал в http://dxdy.ru/topic39509.html, но здесь опишу что именно я имею ввиду. Есть непрерывная на компакте $E$ функция $f(x)$. Последовательность $g_n$ строится так: $g_0(x) = f(x)$,

$$ g_n(x) = \max\{g_{n-1}(x),\int\limits_E g_{n-1}(y)\phi(x,y)\,dy\}, $$

где $\int\limits_E \phi(x,y)\,dy =1$ для всех $x$. Попробовал тоже идти путем разности между соседними членами последовательности, но ничего путного пока не вышло. Не могли бы подсказать, есть ли какие-нибудь хорошие оценки в моем случае?
Последовательность $g_n$ сходится поточечно, потому что монотонно неубывает и ограничена сверху $M = \max\limits_{x\in E}f(x)$. Кроме того (может будет полезно) верно следующее:

$$ g_n(x) = \max\{f(x),\int\limits_E g_{n-1}(y)\phi(x,y)\,dy\}. $$

[Gortaur]

Вообще, у меня получается:

$$ \Delta_0(x) = \max\{0,\int\limits_E(f(y) - f(x))\phi(x,y)dy\}, $$

ну и

$$ Delta_1(x) = \max\{0,\int\limits_E(g_1(y) - g_1(x))\phi(x,y)dy\}, $$

где как я писал $g_1(x) = \max\{f(x),\int\limits_E f(y)\phi(x,y)dy\}$.
Так как последовательность сходится, то очевидно, что дельты могут быть оценены членами сходящегося ряда, но подобрать оценку не получается.