Линейные пространства

[В.О.]

Можно ли в произвольном конечномерном линейном пространстве ввести скалярное произведение?
Или существуют линейные пространства, в которых невозможно ввести ск. пр.?

[paha]

В.О. в сообщении #384461 писал(а):

Можно ли в произвольном конечномерном линейном пространстве ввести скалярное произведение?
Или существуют линейные пространства, в которых невозможно ввести ск. пр.?

все линейные пространства одинаковой размерности над одним и тем же полем изоморфны, так что -- никаких проблем... уж над $\mathbb{R}$ точно

[ewert]

(Оффтоп)

paha в сообщении #384478 писал(а):

... уж над $\mathbb{R}$ точно

А уж это-то зачем...

[Mathusic]

(Оффтоп)

Уж тогда над $\mathbb{R}^n$, худо-бедно придумаем что-ть.

[VAL]

paha в сообщении #384478 писал(а):

В.О. в сообщении #384461 писал(а):

Можно ли в произвольном конечномерном линейном пространстве ввести скалярное произведение?
Или существуют линейные пространства, в которых невозможно ввести ск. пр.?

все линейные пространства одинаковой размерности над одним и тем же полем изоморфны, так что -- никаких проблем... уж над $\mathbb{R}$ точно

Над $\mathbb{R},$ конечно. А над любым полем - сомнительно.
Упорядоченность поля в том или ином виде необходима. (Я в курсе, $\mathbb{C}$ не является упорядоченным полем. И про унитарные пространства - тоже. Но там, все равно, опора на $\mathbb{R}$ в аксиоматике.)
Да и не одна упорядоченность важна. Например, в конечномерном пространстве над $\mathbb{Q}$ можно объявить произвольный базис ортонормированным и задать скалярное произведение, как сумму произведений одноименных координат. При этом будут выполняться все аксиомы скалярного произведения. Только вот какова ценность такого понятия? Ведь модуль вектора уже не вводится, угол между векторами - тоже...

(Оффтоп)

Кстати, Вы мне про теоретико-множественную разность так и не ответили.

[moscwicz]

В.О. в сообщении #384461 писал(а):

Можно ли в произвольном конечномерном линейном пространстве ввести скалярное произведение?
Или существуют линейные пространства, в которых невозможно ввести ск. пр.?

можно, и в произвольном бесконечномерном --тоже. Но это секрет -- Тсссс

[В.О.]

Под изоморфизмом линейных пространств подразумевается изоморфизм лишь линейных операций. Возможно, я что-то запамятовал. Уж не сочтите за труд напомнить, как же в произвольном конечномерном над действительными числами линейном пространстве определить скалярное произведение?

[ewert]

moscwicz в сообщении #384554 писал(а):

можно, и в произвольном бесконечномерном --тоже

Как конкретно?... (гамеля не предлагать)

[moscwicz]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #384557 писал(а):

(гамеля не предлагать)

[ewert]

В.О. в сообщении #384555 писал(а):

Под изоморфизмом линейных пространств подразумевается изоморфизм лишь линейных операций. Возможно, я что-то запамятовал. Уж не сочтите за труд напомнить, как же в произвольном конечномерном над действительными числами линейном пространстве определить скалярное произведение?

Как и было сказано: выбрать любой базис и определить скалярное произведение как сумму произведений координат.

[paha]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #384538 писал(а):

paha в сообщении #384478 писал(а):
... уж над $\mathbb{R}$ точно

А уж это-то зачем...

изоморфизму это не помеха, а вот положительной определенности билинейной формы отсутствие $\mathbb{R}$ может помешать:)

-- Вт дек 07, 2010 14:49:12 --

VAL в сообщении #384550 писал(а):

Например, в конечномерном пространстве над $\mathbb{Q}$ можно объявить произвольный базис ортонормированным и задать скалярное произведение, как сумму произведений одноименных координат. При этом будут выполняться все аксиомы скалярного произведения. Только вот какова ценность такого понятия? Ведь модуль вектора уже не вводится, угол между векторами - тоже...

если скалярное произведение есть (положительно определенная симметрическая билинейная форма), то и длина (ну, не рациональная она), и угол (по неравенству Коши-Буняковского) определены... что неценного?

-- Вт дек 07, 2010 14:51:13 --

moscwicz в сообщении #384554 писал(а):

можно, и в произвольном бесконечномерном --тоже. Но это секрет -- Тсссс

тут уже нужно уточнять топологию... не всякое ЛТП ведь даже нормируемо

[moscwicz]

paha в сообщении #384596 писал(а):

не всякое ЛТП ведь даже нормируемо

а причем тут это?

[ewert]

paha в сообщении #384596 писал(а):

изоморфизму это не помеха, а вот положительной определенности билинейной формы отсутствие $\mathbb{R}$ может помешать:)

Да как помешать-то?... Просто форма не билинейная, а полуторалинейная.

paha в сообщении #384596 писал(а):

если скалярное произведение есть (положительно определенная симметрическая билинейная форма), то и длина (ну, не рациональная она), и угол (по неравенству Коши-Буняковского) определены... что неценного?

Я думаю, что имелось в виду: если некое пространство -- над конкретным полем, то и все операции в нём имеют смысл только в пределах этого поля. Иначе теория станет непоследовательной.

[VAL]

ewert в сообщении #384607 писал(а):

paha в сообщении #384596 писал(а):

если скалярное произведение есть (положительно определенная симметрическая билинейная форма), то и длина (ну, не рациональная она), и угол (по неравенству Коши-Буняковского) определены... что неценного?

Я думаю, что имелось в виду: если некое пространство -- над конкретным полем, то и все операции в нём имеют смысл только в пределах этого поля. Иначе теория станет непоследовательной.

Ну да. Если уж у нас векторное пространство над каким-то полем и скалярное произведение - скаляр из тоже же поля, то как-то странно выглядят модуль вектора и угол между векторами, не являющиеся скалярами.
Но это еще с натягом можно допустить.
Но я с трудом себе представляю (точнее, совсем не предстваляю), как может выглядеть положительная определенность скалярного квадрата, если пространство рассматривается, например, над конечным полем.
Поэтому продолжаю настаивать на отрицательном ответе на вопрос ТС.

[Mathusic]

VAL в сообщении #384655 писал(а):

Поэтому продолжаю настаивать на отрицательном ответе на вопрос ТС.

Он просто пропустил "вещественном".