Линейные пространства

[paha]

moscwicz в сообщении #384597 писал(а):

а причем тут это?

ну, хотелось бы согласованности скалярного произведения с топологией

-- Вт дек 07, 2010 18:50:30 --

ewert в сообщении #384607 писал(а):

Да как помешать-то?... Просто форма не билинейная, а полуторалинейная.

я имел ввиду конечные поля, вообще-то

-- Вт дек 07, 2010 18:53:13 --

VAL в сообщении #384655 писал(а):

например, над конечным полем

вот да, Вы меня правильно поняли

-- Вт дек 07, 2010 18:59:50 --

VAL в сообщении #384655 писал(а):

например, над конечным полем

вот да, Вы меня правильно поняли

ewert в сообщении #384607 писал(а):

Я думаю, что имелось в виду: если некое пространство -- над конкретным полем, то и все операции в нём имеют смысл только в пределах этого поля. Иначе теория станет непоследовательной.

Да, станет непоследовательной... даже проекции на подпространство не будет:(((

VAL в сообщении #384655 писал(а):

Но это еще с натягом можно допустить.
Но я с трудом себе представляю (точнее, совсем не предстваляю), как может выглядеть положительная определенность скалярного квадрата, если пространство рассматривается, например, над конечным полем.
Поэтому продолжаю настаивать на отрицательном ответе на вопрос ТС.

на тот вопрос -- да

Хотя в принципе, теория модулей с внутренним произведением над произвольным кольцом (внутреннее произведение на модуле -- билинейная форма со значениями в основном кольце, индуцирующая инъективное отображение из самого модуля в сопряженный) тоже весьма содержательна и без "положительной определенности"

[ewert]

paha в сообщении #384696 писал(а):

Да, станет непоследовательной... даже проекции на подпространство не будет:(((

Вообще-то что проекции не будет -- не так страшно, её не будет уже просто из-за неполноты, а мало ли таких пространств.

[moscwicz]

paha в сообщении #384696 писал(а):

ну, хотелось бы согласованности скалярного произведения с топологией

ну задайте топологию этим скалярным произведением и будет Вам счастье

[В.О.]

Вопрос в догонку.
Если все сказанное верно, то возникает впечатление, что в одном конечномерном линейном пространстве можно ввести множество различных скалярных произведений.

Возьмем два фиксированных не коллинеарных вектора. Насколько маленьким можно сделать угол между ними перебирая все скалярные произведения?

[Mathusic]

В.О. в сообщении #388695 писал(а):

Если все сказанное верно, то возникает впечатление, что в одном конечномерном линейном пространстве можно ввести множество различных скалярных произведений.

Правильно возникает. Можно ввести $|\mathbb{R}|$ различных СК, всё зависит от выбора метрических коэффициентов $(e_i,e_j).$ Правда, в конечномерном случае все они будут задавать одну топологию.

[В.О.]

С топологией-то все понятно. А вот остальное как-то не очень.
(х,y)2 = (Ax, Ay)1 = (A"Ax, y)1
где А" - сопряженная матрица перехода между базисами, порождающими два скалярных произведения. Если, например, A"A = 1, то скалярное произведение не изменится. Закрадывается подозрение, что различных СП в одном пространстве будет не так уж много.
Если все эти вопросы имеют смысл, то должна же быть какая-то книжка...

[Mathusic]

Книжек много. Например, "Курс алгебры" Винберга.

-- Сб дек 18, 2010 18:12:29 --

В.О. в сообщении #388744 писал(а):

Закрадывается подозрение, что различных СП в одном пространстве будет не так уж много.

Если умножить СК на скаляр, то оно перестанет быть СК?

[paha]

В.О. в сообщении #388744 писал(а):

С топологией-то все понятно. А вот остальное как-то не очень.

Они все будут еще и изометричны, а именно для любых двух скалярных произведений $(\cdot,\cdot)_i$, $i=1,2$ на конечномерном пространстве $V$ существует линейное отображение $A:V\to V$, для которого $(x,y)_1=(Ax,Ay)_2$ для всех $x,y\in V$

[В.О.]

Mathusic в сообщении #388786 писал(а):

Если умножить СК на скаляр, то оно перестанет быть СК?

Разумеется, два скалярных произведения отличающихся множителем считать различными не интересно.

paha в сообщении #388821 писал(а):

существует линейное отображение , для которого для всех

где А- матрица перехода между двумя базисами? Это понятно. Теперь нужно описать все операторы А, которые дают новое скалярное произведения.
В книге Винберга на стр.198 написано, что скалярное произведение является положительно определенной симметрической билинейной функцией. Т.е. матрица симметрическая = самосопряженная. Может я чего путаю, но не должна ли матрица А быть симметричной?

Но всякий случай, объясню зачем все это нужно. Можно попытаться ввести скалярное произведение в линейное пространство эмоций, см. 5-е сообщение сверху на стр. topic39042-15.html
Но если скалярных произведений много, то какое из них самое правильное?

[paha]

В.О. в сообщении #388852 писал(а):

А- матрица перехода между двумя базисами? Это понятно.

между двумя ортонормированными базисами (каждый ортонормированный в своем скалярном произведении)

В.О. в сообщении #388852 писал(а):

Т.е. матрица симметрическая = самосопряженная. Может я чего путаю, но не должна ли матрица А быть симметричной?

это в вещественном случае синонимы

В.О. в сообщении #388852 писал(а):

Но если скалярных произведений много, то какое из них самое правильное?

если вы умеете измерять в этом пространстве "расстояния" (назначать каждой паре точек какое-либо число) --
проверяйте неравенство теугольника (структура метрического пространства),
проверяйте равенство длин отрезков, полученных параллельным переносом (структура нормированного пространства)
проверяйте тождество паралеллограмма (структура евклидова пространства)

в любом случае без определения "расстояния" из внутренних соображений задачи тут математику не применить

[В.О.]

Расстояния измерять я не умею и нет даже никаких фантастических идей на эту тему. Но абсолютные расстояния и не нужны. Достаточно относительных расстояний. Т.е. если будет скалярное произведение с точностью до множителя, то вполне. Но вот какое из многих?
Надо же как-то научиться выбирать самое хорошее. Которое что-нибудь минимизирует или максимизирует. Да хоть-бы минимизирует какие-нибудь углы. Зачем излишне растопыривать пространство.