Задача по геометрии(отношение треугольников)

[maxmatem]

Дан произвольный четырёхугольник $ABCD$, где $M$-середина $AB$,$N$-середина $BC$,$P$-середина $CD$, $Q$-середина $AD$ надо доказать , что $S_{ABCD}$ относится к $S_{MNPQ}$ как 2:1.
Я провёл средние линии $MP$ и $QN$. Есть подозрение, что что все получившиеся треугольники равновелики. Но доказать это пока не получилось.(если это док-ть, то задача тривиальна )

[gris]

Проведите $AC$ и $BD$. $S_{ABC}=4S_{MBN}$. И так 4 раза. Всё сложить и сократить

[maxmatem]

а точно ли точка пересечений диагоналей большого 4-х угольника совпадёт с точкой пересечения его средних линий? и почему $S_{ABC}=4S_{MBN}$ ? из рисунка-то видно а док-ть как?

[gris]

А средние линии не нужны. $MN$ сама средняя линия в $\triangle ABC$. Доказать по подобию можно.

[maxmatem]

gris
чего-то я туплю.Надо ли проводить эти средние линии MP и PQ? не пойму пока как д-ть что $S_{ABC}=4S_{MBN}$, я понимаю что $\triangle ABC$ подобен треуг. MBN но ...наведите на путь.

[gris]

$MN$ средняя линия в $\triangle ABC$. Она параллельна основанию и в два раза меньше его, то есть отсекает треугольник в 4 раза меньшей площади. Сумму площадей 4-х маленьких треугольников можно сравнить с площадью большого.

[maxmatem]

Цитата:

есть отсекает треугольник в 4 раза меньшей площади.

это св-Во какое-то ?
Это же очевидно! (я это из подобия доказал.)

[gris]

Ну а чего же Вам ещё?
Ой, я написал большого, но не дописал - четырёхугольника. То есть если сложить равенства
$S_{ABC}=4S_{MBN}$
$S_{BCD}=4S_{NCP}$
$S_{CDA}=4S_{PDQ}$
$S_{DAB}=4S_{QAM}$, то мы получим
$2S_{ABCD}=4S_{MBN}+4S_{NCP}+4S_{PDQ}+4S_{QAM}$, ну а дальше ясно.

[maxmatem]

Я чуть по другому решил, ну да ладно. gris Спасибо.

[gris]

Чего-то у меня сомнение насчёт равновеликих треугольников. Иногда чертёж подводит. Рисуем слишком хороший четырёхугольник, я котором действительно всё хорошо. А нарисуйте уродский, со всеми разными сторонами. Хотя может быть это мои фантазии. Конечно, решений может быть много. Задача интересная, напишите, что у Вас получилось.

[maxmatem]

gris
Вот моё решение.
Обозначим ч\з
$\[ \begin{gathered} BD \cap MN = T \hfill \\ AC \cap MQ = Z \hfill \\ NP \cap AC = K \hfill \\ BD \cap PQ = R \hfill \\ \end{gathered} \] $
Рассмотрим $\triangle ABC$ и тогда$ \[ S(ABC) = 4S(MBN) \] $. Заметим , что $\triangle MBT$=$\triangle AMZ$ и обозначим $S(AMZ)=S(MBT)=S_{1}$
$\triangle BNT$=$\triangle NCK$ и обозначим $S(BNT)=S(NCK)=S_{2}$
Аналогично устанавливается, что $\triangle CKP$=$\triangle PRD$ и $S(CKP)=S(PRD)=S_{3}$
$\triangle DRQ$=$\triangle QZA$ и $S(DRQ)=S(QZA)=S_{4}$.
$S(ABC)=4(S_{1}+S_{2})=2S_{1}+2S_{2}+S(MNKZ)$
$S(MNKZ)=2S_{1}+2S_{2}$
$S(ACD)=4(S_{3}+S_{4})=2S_{3}+2S_{4}+S(PQZK)$
$S(PQZK)$=$2S_{3}+2S_{4}$
Тогда $S(ABCD)=S(ABC)+S(ACD)=4(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})$
$S(MNPQ)=S(MNKZ)+S(PQKZ)=2(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})$
$\[ \frac{{S(MNPQ)}} {{S(ABCD)}} = \frac{{2(S_1 + S_2 + S_3 + S_4 )}} {{4(S_1 + S_2 + S_3 + S_4 )}} = \frac{1} {2} \] $

[ewert]

gris в сообщении #378387 писал(а):

Чего-то у меня сомнение насчёт равновеликих треугольников. Иногда чертёж подводит. Рисуем слишком хороший четырёхугольник, я котором действительно всё хорошо. А нарисуйте уродский, со всеми разными сторонами.

Равновеликими они, разумеется, не будут, но это и не нужно. Другое дело, что в Вашем замечательном решении надо дополнительно оговорить случай невыпуклого четырёхугольника.

[gris]

Невыпуклость четырёхгольника, а также его вырожденность в разных смыслах, совершенно непропорциональны, так как общеизвестно, что площади впуклых частей считаются отрицательными. На соотношение площадей это не влияет.

[maxmatem]

Да я совсем забыл оговорить, что четырёхугольник выпуклый.

-- Вс ноя 21, 2010 15:09:29 --

gris
Кстати ,как вам моё решение?

[gris]

Вот тут подходят слова - много букав, не осилил. В случае невыпуклого четырёхугольника BD и MN не пересекаются. Приходится искать пересечение, говорить разные дополнительные слова. Ваше ограничение, что 4-хугольник выпуклый совершенно излишне. Более того, утверждение верно даже для самопересекающегося четырёхугольника. А ведь можно было и ограничиться прямоугольниками
Это шутка, конечно, просто мне неохота чертить чертежи с большим количеством дополнительных букв.
А решение Ваше скорее всего верно. Но сдаётся мне, что есть и ещё более простое, основанное на векторной алгебре какой-нибудь.