Предел (В. Арнольд)

[caxap]

Арнольд писал(а):

... Гюйгенс или Барроу нашли бы, скажем, значение предела

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin\tg x-\tg\sin x}{\arcsin\arctg x-\arctg\arcsin x}$$

мгновенно из геометрических соображений...

Думал-думал, так и не додумал. Как его можно из геом. соображений найти?

[Руст]

Да вряд ли можно это вычислить из геометрических соображений. Как никак надо вычислить коэффициенты при $x^7$. Из алгебраических соображений можно показать, что этот член как сверху так и снизу зависит только от вторых коэффициентов разложения нечетных функций:
Т.е., если $f(x)=x+a_1^x^3+a_2x^5+a_3x^7+., g(x)=x+b_1x^3+b_2x^5+b_3x^5+...$
то $f(g(x))-g(f(x))=A_7(a_1,b_1)x^7+...$. Причем $A_7$ многочлен степени 3.
Так как для обратных функций имеется разложение
$f^{-1}(x)=x-a_1x^3+...,g^{-1}(x)=x-b_1x^3+...$ вторые коэффициенты отличаются только знаком, соответственно $A_7(-a_1,-b_1)=-A_7(a_1,b_1)$ получаем без всякого вычисления для любых нечетных функций у которых вторые коэффициенты не нули и отличаются друг от друга, что

$$\lim_{x\to 0}\frac{f(g(x))-g(f(x))}{f^{-1}(g^{-1}(x))-g^{-1}(f^{-1}(x))}=-1.$$

[caxap]

Руст в сообщении #377173 писал(а):

Да вряд ли можно это вычислить из геометрических соображений.

Т. е. Арнольд соврал (сноска внизу)?

[krokha]

было уже:
http://dxdy.ru/post282152.html?hilit=%D0%91%D0%B0%D1%80%D1%80%D0%BE%D1%83#p282152

[caxap]

Спасибо.