Доказать сепарабельность замкнутого линеала

[Nival]

Дано: Х - сепарабельное гильбертово пространство, L - Замкнутый линеал ( или линейное подпространство, что то же самое), имеющий бесконечную размерность. Требуется доказать, что L - сепарабельно.

Я начал делать так: любой x из Х можно разложить в ряд Фурье по ортонормированному базису {e1, e2, ... }. Последний, по одной теореме, найдётся в нашем Х. Частичные суммы этого ряда и есть элементы нашего множества сепарабельности А, которое лежит в Х.
Дальше я рассматривал "ошмётки" нашего базиса {e1, e2, ... } которые попали в L. Пусть это множество B={b1, b2, b3, ...}
И застопорился на том, как объяснить то, что измененные частичные суммы (т.е без элементов которые в L не попали) всё равно приближают наш произвольный х из Х с сколь угодно большой точностью. И что делать в случае, если B окажется пустым?

[ewert]

Рассмотрите проекции элементов исходного базиса на подпространство (т.е. результаты действия на элементы базиса ортопроектора на это подпространство). Любой элемент подпространства будет раскладываться в сходящийся ряд по этим проекциям (вообще говоря, неоднозначно, но какая разница).

-------------------------------------------
Да, кстати:

Nival в сообщении #375108 писал(а):

Частичные суммы этого ряда и есть элементы нашего множества сепарабельности

Не знаю, может у вас там такой жаргон, но я бы сказал, что это формально неверно.

[moscwicz]

Докажите лучше это: всякое подпространство сепарабельного метрического пространства сепарабельно. Гильбертовость, базисы и проекции только затемняют суть дела, которая тривиальна

[MetaMorphy]

Как-то всё слишком сложно у вас.

Сепарабельное (гильбертово) пространство - это пространство, имеющее счётное всюду плотное подмножество. Для того, чтобы доказать, что всякое замкнутое подпространство сепарабельного гильбертова пространства сепарабельно, достаточно рассмотреть множество ортогональных проекций этого самого всюду плотного подмножества на это самое подпространство. Возникают два тривиально (учитывая преподаваемый материал) решаемых вопроса - существование и "всюду плотность".

(Upd.: выше уже предложили доказать гораздо более общее утверждение.)

[ewert]

moscwicz в сообщении #375118 писал(а):

всякое подпространство сепарабельного метрического пространства сепарабельно

это -- более сложная теорема

-- Вс ноя 14, 2010 19:54:25 --

MetaMorphy в сообщении #375122 писал(а):

бесконечномерность "вааще" ни при чём

бесконечномерность при чём в том смысле, что в конечномерном случае утверждение просто тривиально

[moscwicz]

ewert в сообщении #375124 писал(а):

то -- более сложная теорема

ничего подобного, Канторович Акилов Функциональный анализ

[ewert]

moscwicz в сообщении #375128 писал(а):

ничего подобного, Канторович Акилов Функциональный анализ

Всё подобное. Ну нет у меня под рукой Канторовича с Акиловым. Я бы доказывал это так (скорее всего, и они примерно так же).

Оставим в исходном плотном множестве только те элементы, расстояние от которых до подпространства равно нулю. Для каждого из них выберем последовательность сходящихся к нему элементов подпространства. Вот совокупность всех этих элементов по всем этим последовательностям -- и будет счётным всюду плотным подмножеством подпространства.

Так вот это доказательство -- существенно более сложное. Как минимум потому, что приходится строить конструкцию, не так уж заранее и бросающуюся в глаза. И потом ещё произносить в оправдание энное количество заклинаний (хотя уже и достаточно очевидных).

В гильбертовом же случае -- проецирование просто напрашивается. Ибо все знают, что ортопроектор есть, и что его свойства весьма хороши. А после проецирования результат получается просто мгновенно. И даже если опираться не на исходное определение сепарабельности, а на базисы -- всё равно дальнейшее занудство напрашивается.

(В предгильбертовом случае -- там, конечно, хуже; там, вероятно, существенно более простого доказательства, чем общеметрическое, действительно не придумаешь. Но кому интересна предгильбертовость.)

[Padawan]

ewert
Сначала доказывается, что метрическое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно имеет счетную базу (счетная база $\to$ сепарабельность совсем просто, сепарабельность $\to$ счетная база тоже просто). А подпространство пространства со счетной базой тоже имеет счетную базу.

[ewert]

Padawan в сообщении #375175 писал(а):

ewert
Сначала доказывается, что метрическое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно имеет счетную базу (счетная база $\to$ сепарабельность совсем просто, сепарабельность $\to$ счетная база тоже просто). А подпространство пространства со счетной базой тоже имеет счетную базу.

Я просто не понимаю, что такое "счётная база" в метрическом случае. Вы хотите сказать: доказывается, что метрическое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно сепарабельно, да?...

В любом случае: ссылки на предшествующие теоремы (что бы те ни озвучивали) -- это уже не элементарно. Гильбертово пространство -- существенно более простой объект.

[Padawan]

ewert
В любом случае, основные понятия общей топологии никому не повредит знать.

(Оффтоп)

А элементарность понятие относительное. Только что, например, читал книжку. Попалась теорема Егорова, решил её в памяти освежить, заглянул в доказательство. Читаю, читаю, что-то не понятно написано. Пошел на кухню чай пить, и пока пил, понял, что эта теорема элементарна.

[moscwicz]

ewert
Вы не беспокойтесь, нижеследующее не для Вас, а для интересующихся. Вас на этом форуме, как я заметил, все равно никому никогда ни в чем переубедить не удавалось. Такое случается с профессиональными педагогами.

moscwicz в сообщении #375118 писал(а):

всякое подпространство сепарабельного метрического пространства сепарабельно.

Док-во.
Пусть $X,d$ -- метрическое пространство и $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq X$ -- плотное подмножество.

Пусть $D\subseteq X$ -- какое-нибудбь подпространство, покажем, что оно сепарабельно.
Для каждого $n\in \mathbb{N}$ и для каждого $k\in \mathbb{N}$ выберем элемент
$y_{nk}\in D$ такой, что $d(y_{nk},x_n)\le d(D,x_n)+1/k$.
Очевидно, $\{y_{nk}\}$ и есть плотное множество в $D$. Действительно,
если $x\in D$ то

$$d(x,y_{nk})\le d(x,x_n)+d(y_{nk},x_n)\le d(x,x_n)+ d(D,x_n)+1/k\le 2d(x,x_n)+1/k $$

Остается взять $k$ достаточно большим и подобрать $x_n$ так что бы $d(x,x_n)$ был достаточно малым.

[ewert]

Padawan в сообщении #375181 писал(а):

В любом случае, основные понятия общей топологии никому не повредит знать.

Может, и не повредят. Но и не обязательны. И в любом случае -- далеко не всем абстрактная топология нужна. И уж сугубо медицинский факт: далеко не всем её дают

Вы, кстати, ещё не забыли про топикстартера?... -- Так вот: им её явно не давали (судя по формулировке задачи). И даже про метрические пространства (которые действительно общеполезны) -- если и говорили, то мельком.

moscwicz в сообщении #375182 писал(а):

Док-во.

Ну а я об чём?.. Я вроде примерно это же и сказал. Разве что малость идейнее. И в любом случае: эта конструкция -- неочевидна. В отличие от чисто гильбертовой.

(Оффтоп)

moscwicz в сообщении #375182 писал(а):

Вас на этом форуме, как я заметил, все равно никому никогда ни в чем переубедить не удавалось.

Это, кстати сказать, неправда.

[Nival]

Цитата:

Рассмотрите проекции элементов исходного базиса на подпространство (т.е. результаты действия на элементы базиса ортопроектора на это подпространство).

В нашем курсе функционального анализа не было понятия ортопроектора. Проекция вектора x на линеал L определялась как представимость х в виде суммы y + z, где z - элемент ортогонального дополнения, а у - наша проекция х на линеал.
К сожалению, единственное что я понял, это то, что моя попытка доказательства - барахло.

Пользуясь вашим советом рассматриваю проекции $b_i$ базиса
$e_i=b_i+z_i$, где $z_i$ из ортогонального дополнения, а $b_i$ из L .
Любой х из Х можно представить в виде $\sum c_i*e_i$, где $c_i=(x,e_i)=(x,b_i)+(x,z_i)$, кстати $c_i=(x,b_i)$ если х из L
Теперь я уславливаюсь, что х всегда из L
подставляя получаю:
$x = \sum c_i*(b_i+z_i) = \sum c_i*b_i + \sum c_i*z_i$
Теперь мы разложили произвольный элемент х из L в две суммы. Если объяснить, что вторая сумма равна нулю, то мы х представили в виде ряда из элементов нашего L. Значит мы попросту предъявили множество сепарабельности в L - это будет {$b_1, b_2, b_3, ... $}
Но как объяснить, что вторая сумма равна нулю??

[ewert]

Nival в сообщении #375220 писал(а):

В нашем курсе функционального анализа не было понятия ортопроектора.

Нет, я отказываюсь дальше читать. Если не было понятия проектора -- то всё дальнейшее вполне бессмысленно.

А между тем понятие -- вполне элементарно. Коль уж скоро теорема о проекции была -- дальше всё напрашивается. Напрашивается, в частности, оператор проектирования, который каждому элементу ставит в соответствие его проекцию. А уж коль скоро этот оператор введён -- очевидно и то, что его норма равна единице.

Далее попытайтесь вчитаться в сообщение MetaMorphy -- он изложил всё наиболее лаконично.

[Someone]

ewert в сообщении #375161 писал(а):

Оставим в исходном плотном множестве только те элементы, расстояние от которых до подпространства равно нулю. Для каждого из них выберем последовательность сходящихся к нему элементов подпространства.

А что Вы будете делать в том случае, когда это множество пусто? Например, на координатной плоскости $Oxy$ множество точек, у которых обе координаты рациональны, всюду плотно. Прямая, задаваемая уравнением $y=x\sqrt{2}+\sqrt{3}$, не содержит ни одной точки, у которой обе координаты рациональны.

На самом деле это делается иначе. Я приведу другую конструкцию, которая реализует стандартное в топологии рассуждение Padawanа, не упоминая таких "страшных" понятий, как база и вес топологического пространства. Эта конструкция существенно не отличается от конструкции moscwicz (но моё изложение несколько более подробное).

Пусть $X$ - сепарабельное метрическое пространство с метрикой $\rho$, $Y\subseteq X$ - его подпространство, $S$ - счётное всюду плотное подмножество $X$. Будем обозначать $O_X(x_0,\varepsilon)=\{x\in X:\rho(x,x_0)<\varepsilon\}$ открытый шар радиуса $\varepsilon>0$ с центром в точке $x_0\in X$ и, аналогично, $O_Y(x_0,\varepsilon)=\{x\in Y:\rho(x,x_0)<\varepsilon\}$, но здесь $x_0\in Y$.

Построение. Для каждой точки $x\in S$ и каждого натурального $n\in\mathbb N$ рассмотрим множество $A(x,n)=Y\cap O_X(x,\frac 1n)$. Если это множество не пусто, то выберем какую-нибудь точку $y_{x,n}\in A(x,n)$. Совокупность всех выбранных точек обозначим $D$. Очевидно, $D\subseteq Y$ - счётное подмножество пространства $Y$. Осталось доказать, что оно всюду плотно в $Y$.
Доказательство. Пусть $U\subseteq Y$ - любое непустое открытое подмножество пространства $Y$. Возьмём любую точку $y\in U$. Так как $U$ открыто, существует такое $\varepsilon>0$, что $O_Y(y,\varepsilon)\subseteq U$. Возьмём любое натуральное $n>\frac 2{\varepsilon}$. Так как $S$ всюду плотно в $X$, найдётся точка $x\in O_X(y,\frac 1n)\cap S$. Так как множество $A(x,n)$ содержит точку $y$, то есть, не пусто, то при построении была выбрана точка $y_{x,n}\in A(x,n)$. Имеем

$$\rho(y,y_{x,n})\leqslant\rho(y,x)+\rho(x,y_{x,n})<\frac 1n+\frac 1n=\frac 2n<\varepsilon\text{,}$$

поэтому $y_{x,n}\in O_Y(y,\varepsilon)\subseteq U$, то есть, $U\cap D\neq\varnothing$, поэтому $D$ всюду плотно в $Y$.

Nival в сообщении #375220 писал(а):

В нашем курсе функционального анализа не было понятия ортопроектора. Проекция вектора x на линеал L определялась как представимость х в виде суммы y + z, где z - элемент ортогонального дополнения, а у - наша проекция х на линеал.

Этого достаточно. Применяете это построение к элементам заданного всюду плотного множества, как советовал MetaMorphy, и получаете всюду плотное подмножество в подпространстве.