(Оффтоп)
У топикстартера речь идёт исключительно об увеличении числа сторон.
А телепатию включить -- слабо?...
Да, кстати меня интересует вопрос, с правильными многоугольниками.
Дело не в правильности (хотя правильность чуть-чуть и облегчает рассуждения). А в определении площади.
По определению, площадью области называется предел площадей многоугольников при условии, что эти многоугольники "всё лучше и лучше" приближают область. Это -- идея.
А формальное определение таково. Область называется измеримой (т.е. имеющей площадь), если существуют вписанные многоугольники площади
и описанные многоугольники площади
такие, что
сколь угодно мала (т.е. что можно подобрать такие пары, сколь угодно мало различающиеся по площади). При этом верхняя грань всех возможных
(или, что то же самое, нижняя грань всех
) и называется площадью области.
Так вот, конкретно для круга. Впишем в него какой-нибудь многоугольник и опишем другой, образованный касательными к окружности в вершинах первого. Разность их площадей -- это сумма площадей соответствующих треугольничков, образовавшихся на краю. И эта сумма, как легко видеть, стремится к нулю при стремлении к нулю максимальной из сторон вписанного многоугольника. Поскольку сумма этих сторон, т.е. сумма оснований тех треугольничков, ограничена сверху, например, длиной окружности, а максимальная из высот стремится к нулю.
Тем самым одновременно доказано и существование у круга площади, и то, что эта площадь есть предел площадей вписанных многоугольников. Предел -- при указанном выше условии, независимо от правильности или неправильности этих многоугольников.
