2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: n-угольник
Сообщение14.11.2010, 12:47 

(Оффтоп)

gris в сообщении #374915 писал(а):
У топикстартера речь идёт исключительно об увеличении числа сторон.

А телепатию включить -- слабо?...

NNDeaz в сообщении #374914 писал(а):
Да, кстати меня интересует вопрос, с правильными многоугольниками. :oops:

Дело не в правильности (хотя правильность чуть-чуть и облегчает рассуждения). А в определении площади.

По определению, площадью области называется предел площадей многоугольников при условии, что эти многоугольники "всё лучше и лучше" приближают область. Это -- идея.

А формальное определение таково. Область называется измеримой (т.е. имеющей площадь), если существуют вписанные многоугольники площади $S_-$ и описанные многоугольники площади $S_+$ такие, что $S_+-S_-$ сколь угодно мала (т.е. что можно подобрать такие пары, сколь угодно мало различающиеся по площади). При этом верхняя грань всех возможных $S_-$ (или, что то же самое, нижняя грань всех $S_+$) и называется площадью области.

Так вот, конкретно для круга. Впишем в него какой-нибудь многоугольник и опишем другой, образованный касательными к окружности в вершинах первого. Разность их площадей -- это сумма площадей соответствующих треугольничков, образовавшихся на краю. И эта сумма, как легко видеть, стремится к нулю при стремлении к нулю максимальной из сторон вписанного многоугольника. Поскольку сумма этих сторон, т.е. сумма оснований тех треугольничков, ограничена сверху, например, длиной окружности, а максимальная из высот стремится к нулю.

Тем самым одновременно доказано и существование у круга площади, и то, что эта площадь есть предел площадей вписанных многоугольников. Предел -- при указанном выше условии, независимо от правильности или неправильности этих многоугольников.

 
 
 
 Re: n-угольник
Сообщение14.11.2010, 12:55 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Bulinator, Вы очень добры. Просто у меня с утра появилась обида непонятно на что. Я её тщательно взрастил и некоторое время упивался, заодно транслируя её в окружающий мир. Но Вы спасли меня (или мир). Теперь я благодушен и спокоен. А всего-то внешний диск на пол свалился. Ну не на голову же, правда?

(Оффтоп)

Про внешний диск наврал. У меня такого не бывает, чтобы диски падали. Мышь и клава падают, это да, но у них судьба такая.


А вот про телепатию не согласен. Тут даже не в правильности дело, а в точности формулировок. Ну да не буду умничать, ладно, согласен.

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group