Выдвигаю гипотезу (помогите доказать либо опровергнуть)

[Xenia1996]

На следующую гипотезу меня натолкнули две олимпиадные задачи, ибо я заметила нечто общее между ними.

Задача 1: Рассматриваются все натуральные числа n такие, что числа n + 1 и 2n + 1 – точные квадраты. Найдите наибольший общий делитель всех рассматриваемых чисел.

Источник задачи: XXXVII Еекатеринбургская городская олимпиада, 1996-1997. Областной тур. 10 класс. 2-й день.

Здесь в ответе получается 24=8*3

Задача 2: 2n + 1 и 3n + 1 – точные квадраты. Докажите, что n делится на 40.

Источник задачи: Словенская математическая олимпиада.. 1994. 3 тур.

Доказав (и вспомнив предыдущую задачу), я заметила, что 40=8*5, и решила пойти дальше.

Вот моя гипотеза:
Для любого натурального m наибольший общий делитель всех натуральных чисел n таких, что числа mn+1 и (m+1)n+1 являются точными квадратами, равен 8*(m+(m+1))=8*(2m+1)=16m+8.

Первые два частных случая - это те самые две олимпиадные задачи (см. выше).
Случай с m=3 я рассмотрела, и он вписывается в гипотезу, там получается 56=8*7=16*3+8

Помогите, пожалуйста, доказать (либо опровергнуть) сию гипотезу.
Заранее благодарна!

[Ales]

Для решения задач применяли уравнение Пелля?
Первая задача - это уравнение Пелля: $2x^2-y^2=1$.
Вторая задача - это уравнение: $3x^2-2y^2=1$.
Гипотеза - это уравнение: $(m+1)x^2-my^2=1$.
Можно найти формулу для $n$ и проверить: делятся ли они на наименьшее.

-- Сб ноя 13, 2010 15:52:25 --

Может быть надо не уравнение Пелля применять, а разложение в сумму квадратов:
Первая задача: $2x^2=1+y^2$.
Вторая задача - это уравнение: $3x^2=1+2y^2=(1+yi\sqrt2)(1-yi\sqrt2)$.
Гипотеза - это уравнение: $(m+1)x^2=1+my^2=(1+yi\sqrt m)(1-yi\sqrt m)$.

-- Сб ноя 13, 2010 16:03:38 --

Все таки это уравнение Пелля:
$(m+1)x^2-my^2=(x\sqrt {m+1}+y\sqrt m)(x\sqrt {m+1}-y\sqrt m)(\sqrt {m+1}+\sqrt m})(\sqrt {m+1}-\sqrt m)=((m+1)x+my+(y+x)\sqrt{m(m+1)})((m+1)x+my-(y+x)\sqrt{m(m+1)})=u^2-m(m+1)v^2=1$

[Xenia1996]

Ales в сообщении #374550 писал(а):

Для решения задач применяли уравнение Пелля?
Первая задача - это уравнение Пелля: $2x^2-y^2=1$.
Вторая задача - это уравнение: $3x^2-2y^2=1$.
Гипотеза - это уравнение: $(m+1)x^2-my^2=1$.
Можно найти формулу для $n$ и проверить: делятся ли они на наименьшее.

-- Сб ноя 13, 2010 15:52:25 --

Может быть надо не уравнение Пелля применять, а разложение в сумму квадратов:
Первая задача: $2x^2=1+y^2$.
Вторая задача - это уравнение: $3x^2=1+2y^2=(1+yi\sqrt2)(1-yi\sqrt2)$.
Гипотеза - это уравнение: $(m+1)x^2=1+my^2=(1+yi\sqrt m)(1-yi\sqrt m)$.

-- Сб ноя 13, 2010 16:03:38 --

Все таки это уравнение Пелля:
$(m+1)x^2-my^2=(x\sqrt {m+1}+y\sqrt m)(x\sqrt {m+1}-y\sqrt m)(\sqrt {m+1}+\sqrt m})(\sqrt {m+1}-\sqrt m)=((m+1)x+my+(y+x)\sqrt{m(m+1)})((m+1)x+my-(y+x)\sqrt{m(m+1)})=u^2-m(m+1)v^2=1$

Чудовищных размеров спасибо!
Пойду сперва разберусь с уравнением Пелля , а потом попробую применить его для доказательства данной гипотезы.

(Там в Википедии про связь с теорией полей написано...)

Но это - уже высшая математика, а я её покамест не изучала (ну, разве что, по краям нахваталась )

[Null]

Интересно получается: $u^2-m(m+1)v^2=1 \Rightarrow uv\vdots(2m+1)$

По крайней мере делимость на $16m+8$ я вроде доказал.

[Xenia1996]

Null в сообщении #374593 писал(а):

Интересно получается: $u^2-m(m+1)v^2=1 \Rightarrow uv\vdots(2m+1)$

По крайней мере делимость на $16m+8$ я вроде доказал.

Ну, а остальное - нетрудно. Достаточно рассмотреть первые три частных случая и увидеть закономерность. Скажем, при $m=1$ число 24 содержится в этой последовательности $(1*24+1=5^2, 2*24+1=7^2)$, при $m=2$ - число 40 $(2*40+1=9^2, 3*40+1=11^2)$ и т. д. Ничего не замечаете?

[Ales]

Ales в сообщении #374550 писал(а):

Все таки это уравнение Пелля:
$(m+1)x^2-my^2=(x\sqrt {m+1}+y\sqrt m)(x\sqrt {m+1}-y\sqrt m)(\sqrt {m+1}+\sqrt m})(\sqrt {m+1}-\sqrt m)=((m+1)x+my+(y+x)\sqrt{m(m+1)})((m+1)x+my-(y+x)\sqrt{m(m+1)})=u^2-m(m+1)v^2=1$

Еще можно добавить, что $mn=x^2-1=(u-mv)^2-1=u^2-2muv+m^2v^2-1=m((2m+1)v-2u)v$.

[Ales]

Нетривиальное решение - пара $(u,v)=(2m+1,2)$.
Проверить, может ли быть меньше - $v=1$?

[Руст]

По сути все уже решили. Очевидно $v=1$ не решение.
Соответственно общее решение $u_k+v_k\sqrt{m(m+1)}=(2m+1+2\sqrt{m(m+1)})^k$
$x_k=u_k-mv_k,y_k=(m+1)v_k-u_k,n_k=y_k^2-x_k^2=v_kv_{k-1}$.
Из формулы

$$ v_k=\sum_{i=0}^{[(k-1)/2]}\binom{k}{2i+1}(2m+1)^{k-2i-1}m^i(m+1)^i$$

получаем, что $2(2m+1)|v_k$ при нечетном $k$.
Учитывая, что $v_{2k}=2u_kv_k$ получаем, что $4|v_k$ при четном $k$.