Доказательство существования одностороннего предела.

[Logik1]

Объясните логическую цепочку нормального доказательства, а то у меня кривое получается, и покажите на примере.

f(x)=1/(2-2^(1/x)) Здесь просто задание: вычислить односторонний предел если он существует. Я хочу просто понять как доказывать. К 0+0

Благодарю заранее...

И двухсторонний тоже, если можно

lim((x+1)/(x+2))^2=4/9 при x->1

[ИСН]

У Вас кое-что недо

[Mitrius_Math]

А $x$ к чему стремится? У Вас ничего не понять...

[Logik1]

Извиняюсь, исправил.

[Joker_vD]

Ну а в первом примере куда $x$ стремится? И формулы, формулы поправьте, пока время есть.

[Logik1]

Там стремиться к 0+... А что с формулами не так?

-- Чт ноя 11, 2010 18:10:50 --

Мне по сути нужны именно теоритические обоснования существования однотстороннего и двустороннего предела нормальным языком. А то я по учебнику вразумительного сам написать не могу.

[Joker_vD]

Logik1 в сообщении #373644 писал(а):

А что с формулами не так?

То, что они должны выглядеть примерно как $\lim\limits_{x \to +0} \dfrac{1}{2-2^\frac{1}{x}}$ (если я правильно прочел).

В случае с двухсторонним пользуйтесь теоремами о пределе суммы, произведения, частного.

[Logik1]

Дада, так и есть.

Ну теоремы... блин... можно на примере пожалуйста доказательство именно существования.

[Joker_vD]

Если существуют $\lim\limits_{x \to 1} (x+1)^2$ и $\lim\limits_{x \to 1} (x+2)^2$, то

$$\lim\limits_{x \to 1} \left(\frac{x+1}{x+2}\right)^2 = \lim\limits_{x \to 1} \frac{(x+1)^2}{(x+2)^2} \stackrel{\mathbb T}{=} \frac{\lim\limits_{x \to 1} (x+1)^2}{\lim\limits_{x \to 1}(x+2)^2}$$

Теперь аналогично доказывайте существование тех двух пределов (в конце концов вы придете к пределу $\lim\limits_{x \to 1} x$, который существует и равен единице).

P.S. Если вы наведете мышку на формулы, вы увидите их исходный текст.

[Logik1]

Объясните пожалуйста со своими примерами, своими словами, как доказать существование одностороннего предела... Он вообще может не существовать??

И как доказать существование двустороннего НА ОСНОВЕ определения предела функции.

И в формуле n-ой производной $(d^n y)/(d x^n)$ , что значит $d$ и тем более $d^n$

Только не отправляйте в теоремы и в книги обратно. Заранее спасибо.

[Joker_vD]

Logik1 в сообщении #373750 писал(а):

Объясните пожалуйста со своими примерами, своими словами, как доказать существование одностороннего предела... Он вообще может не существовать??

Примерно как и двухстороннего. Ладно, дай на бумажке решу.

Logik1 в сообщении #373750 писал(а):

И как доказать существование двустороннего НА ОСНОВЕ определения предела функции.

Ну как, записать в явном виде $|f(x) - f(a)| \leqslant \varepsilon$, найти оттуда, при каком $x$ это выполняется. Если полученный результат уложится в неравенство вида $|x - a| \leqslant \delta$, то предел есть.

Logik1 в сообщении #373750 писал(а):

И в формуле n-ой производной $\frac{d^ny}{dx^n}$, что значит $d$ и тем более $d^n$

Дифференциал и дифференциал $n$-го порядка соответственно.

_______________________________________

Итак, предел $\lim\limits_{x \to +0} \dfrac{1}{2-2^{1/x}}$. Покажем, что он равен нулю, для этого запишем неравенство $\left|\dfrac{1}{2-2^{1/x}}\right| < \varepsilon$ и решим его (полагая, что $x$ близок к нулю). Раскроем модуль:
$-\varepsilon < \dfrac{1}{2-2^{1/x}}$, знаменатель отрицателен, поэтому $\left(2^{1/x}-2\right)\varepsilon > 1$, $2^{1/x} > 2 + 1/\varepsilon$. Логарифмируем, получаем $\dfrac{1}{x} > \log_2(2+\frac{1}{\varepsilon})$, правая часть неотрицательна, $x < \frac{1}{\log_2(2+\frac{1}{\varepsilon})}$.
Итак, мы получили, что для любого $\varepsilon > 0$ найдется $\delta = \frac{1}{\log_2(2+\frac{1}{\varepsilon})}$ такое, что из $0 < x < \delta$ следует $\left|\dfrac{1}{2-2^{1/x}}\right| < \varepsilon$.

[Logik1]

Спасибо огромное просто. Дошло наконец-то.

Joker_vD в сообщении #373765 писал(а):

Дифференциал и дифференциал $n$-го порядка соответственно.

Я понимаю... Я имел в виду, что значит найти дифференциал n-го порядка. Числитель продифференцировать n раз, а знаменатель 1, но с учетом n-ой степени Х? Или как?

[Joker_vD]

Число $b$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $a$ (записывается $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$), если для любого $\varepsilon > 0$ найдется $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$ такое, что из выполнения неравенства $|x - a| < \delta$ следует выполнение неравенства $|f(x) - b| < \varepsilon$.

Дифференциалом $n$-го порядка функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется $d^ny(x_0) = f^{(n)}(x_0)(dx)^n$

[Logik1]

А можно последний вопрос... Когда решаем неравенство с эпсилон в двустороннем пределе, раскрывая модуль, брать 2 случая с плюсом и минусом или как?

[Joker_vD]

Logik1 в сообщении #373813 писал(а):

раскрывая модуль, брать 2 случая с плюсом и минусом или как?

В общем случае — да. Однако если можно определить знак подмодульного выражения (как в этом случае — при положительных $x$, близких к нулю, $2^{1/x}$ больше 2 и потому $2 - 2^{1/x}$ было отрицательно).