2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 однопараметрические подгруппы диффеоморфизмов прямой
Сообщение04.11.2010, 13:30 
Аватара пользователя
Правда ли, что для любого гладкого отображения $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, обладающего свойством
$$
f(0,x)=x,\quad f(t,f(s,x))=f(t+s,x)\quad\forall s,t,x\in\mathbb{R},
$$
существует такой диффеоморфизм $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, что $f(t,x)=F^{-1}(F(x)+t)$?

Т.е. все ли однопараметрические подгруппы в $Diff_0\mathbb{R}$ сопряжены?

я как-то давно эту задачу пытался решить... и вроде, с помощью спектральной теоремы для унитарных операторов что-то получилось... А именно -- утвердительный ответ. Но детали из памяти стерлись, а сам вопрос вдруг вспомнился

(Спасибо за уточнение)

 
 
 
 Re: однопараметрические подгруппы диффеоморфизмов прямой
Сообщение04.11.2010, 13:37 
по теореме о выпрямлении вектрного поля в подходящих локальных координатах $f(t,x)=x+t$ и еще: Вы забыли написать $f(0,x)=x$

 
 
 
 Re: однопараметрические подгруппы диффеоморфизмов прямой
Сообщение04.11.2010, 13:42 
Аватара пользователя
moscwicz
спасибо за "нетривиальность $f$"))


локально -- да, а глобально?

 
 
 
 Re: однопараметрические подгруппы диффеоморфизмов прямой
Сообщение04.11.2010, 13:45 
подумайте

 
 
 
 Re: однопараметрические подгруппы диффеоморфизмов прямой
Сообщение04.11.2010, 13:46 
Аватара пользователя
moscwicz в сообщении #369941 писал(а):
подумайте

ну, т.е. Вы не в курсе?

 
 
 
 Re: однопараметрические подгруппы диффеоморфизмов прямой
Сообщение04.11.2010, 13:47 
я в курсе, просто в этом разделе не положено выкладывать решения за топикстартера

 
 
 
 Re: однопараметрические подгруппы диффеоморфизмов прямой
Сообщение04.11.2010, 14:00 
Аватара пользователя
ну, тогда разъясните: это известный факт (что все сопряжены сдвигу), или это как-то очевидно?

Вы хотите сказать, что траектории д.у. $\dot{x}=\partial_t f(0,x)$ выпрямляются глобальным диффеоморфизмом?
или я совсем курс д.у. забыл

 
 
 
 Re: однопараметрические подгруппы диффеоморфизмов прямой
Сообщение04.11.2010, 14:08 
замена переменных $x\mapsto y$, приводящая векторное поле $v,\quad v(0)\ne 0$ к виду $v=1$ в окрестности 0 строится следующим образом $x=f(y,0)$, если векторное поле $v$ в ноль не обращается, то существует глобальный диффеоморфизм.
Поэтому, любые однопараметрические группы у которых вектрные поля не обращаются в ноль сопряжены.
Если у одной группы три неподвижных точки, а у другой две , то сопряженности уж никак не будет

 
 
 
 Re: однопараметрические подгруппы диффеоморфизмов прямой
Сообщение04.11.2010, 14:10 
Аватара пользователя
значит ответ на исходный вопрос "нет"?

 
 
 
 Re: однопараметрические подгруппы диффеоморфизмов прямой
Сообщение04.11.2010, 14:15 
ну я уже и ответ написал, и решение, и достаточные условия, и даже аккуратность навел:)

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group