Равенство множеств

[kkar]

Помогите с равенством, пожалуйста:
$(\overline{sp \bigcup X_i})^\perp=\bigcap X_i ^\perp$, где $(X_i)_{i\in I}$ - семейство подмножеств в пространстве со скалярным произведением.

В левую сторону у меня получается:
$x\in \bigcap X_i ^\perp \Rightarrow \forall i\in I \quad \forall y_i\in X_i \quad (x,y)=0 \Rightarrow y_i\in \overline{sp \bigcup X_i} $ и $(x,y)=0$.
А в правую:
$x\in (\overline{sp \bigcup X_i})^\perp \Rightarrow \forall y\in \overline{sp \bigcup X_i}\quad (x,y)=0$. Вот после этого, наверное, надо как то "расщепить" $y$ до самих множеств $X_i$, а после этого перейти каким то образом к их пересечению. Как именно это проделать?

[ewert]

kkar в сообщении #368201 писал(а):

Вот после этого, наверное, надо как то "расщепить"

А чего расщеплять-то. Если икс ортогонален объединению множеств, то он уж всяко ортогонален каждому из этих множеств.

[kkar]

ewert в сообщении #368212 писал(а):

Если икс ортогонален объединению множеств, то он уж всяко ортогонален каждому из этих множеств.

Если икс ортогонален объединению, то он ортогонален хотя бы одному из множеств. Почему каждому из них?

[Someone]

Потому что каждое из $X_i$ является подмножеством $\overline{sp\bigcup_i X_i}$.

[ewert]

Someone в сообщении #368287 писал(а):

Потому что каждое из $X_i$ является подмножеством $\overline{sp\bigcup_i X_i}$.

И, кстати, в этом месте "$\overline{sp\phantom{\bigcup_i X_i}}$" совсем не нужно. Эти две операции расширяют $\bigcup_i X_i$
и, следовательно, формально сужают ортогональное дополнение (фактически-то вообще не меняют, конечно, но при доказательстве в эту сторону достаточно того, что сужают).

[kkar]

Спасибо.
А будет ли верно такое включение:
$(\bigcap X_i)^\perp \subset \overline{sp\bigcup X_i^\perp}$?
Пробовал доказать, имея предыдущее равенство, но все сводится к тому, что должно быть$ A=A^{\perp\perp}$, чего в пространстве со скалярным произведением нет. Нельзя ли по другому вывести это включение?

[ewert]

Будет. Достаточно сослаться на то, что $X\subset(X^{\perp})^{\perp}$ и на предыдущее равенство, применённое к $X_i^{\perp}$ вместо $X_i$.