2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 10:08 
Помогите с равенством, пожалуйста:
$(\overline{sp \bigcup X_i})^\perp=\bigcap X_i ^\perp$, где $(X_i)_{i\in I}$ - семейство подмножеств в пространстве со скалярным произведением.

В левую сторону у меня получается:
$x\in \bigcap X_i ^\perp \Rightarrow \forall i\in I \quad \forall y_i\in X_i \quad (x,y)=0 \Rightarrow y_i\in  \overline{sp \bigcup X_i} $ и $(x,y)=0$.
А в правую:
$x\in (\overline{sp \bigcup X_i})^\perp \Rightarrow \forall y\in \overline{sp \bigcup X_i}\quad  (x,y)=0$. Вот после этого, наверное, надо как то "расщепить" $y$ до самих множеств $X_i$, а после этого перейти каким то образом к их пересечению. Как именно это проделать?

 
 
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 10:46 
kkar в сообщении #368201 писал(а):
Вот после этого, наверное, надо как то "расщепить"

А чего расщеплять-то. Если икс ортогонален объединению множеств, то он уж всяко ортогонален каждому из этих множеств.

 
 
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 14:05 
ewert в сообщении #368212 писал(а):
Если икс ортогонален объединению множеств, то он уж всяко ортогонален каждому из этих множеств.

Если икс ортогонален объединению, то он ортогонален хотя бы одному из множеств. Почему каждому из них?

 
 
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 14:38 
Аватара пользователя
Потому что каждое из $X_i$ является подмножеством $\overline{sp\bigcup_i X_i}$.

 
 
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 15:23 
Someone в сообщении #368287 писал(а):
Потому что каждое из $X_i$ является подмножеством $\overline{sp\bigcup_i X_i}$.

И, кстати, в этом месте "$\overline{sp\phantom{\bigcup_i X_i}}$" совсем не нужно. Эти две операции расширяют $\bigcup_i X_i$
и, следовательно, формально сужают ортогональное дополнение (фактически-то вообще не меняют, конечно, но при доказательстве в эту сторону достаточно того, что сужают).

 
 
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 21:44 
Спасибо.
А будет ли верно такое включение:
$(\bigcap X_i)^\perp \subset \overline{sp\bigcup X_i^\perp}$?
Пробовал доказать, имея предыдущее равенство, но все сводится к тому, что должно быть$ A=A^{\perp\perp}$, чего в пространстве со скалярным произведением нет. Нельзя ли по другому вывести это включение?

 
 
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 22:12 
Будет. Достаточно сослаться на то, что $X\subset(X^{\perp})^{\perp}$ и на предыдущее равенство, применённое к $X_i^{\perp}$ вместо $X_i$.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group