Алгебраическое доказательство ВТФ.
Великая теорема Ферма гласит: «Ни куб на два куба, ни квадрато – квадрат и вообще никакая, кроме квадрата, степень не может быть разложена на сумму двух таких же». Тем самым он утверждает, что при
выразить уравнение
(1) в натуральных числах невозможно. После бесконечных неудачных попыток найти элементарное доказательство ВТФ сформировалось мнение, что П. Ферма сделав приписку к теореме: «Я нашел удивительное доказательство тому…» самоуверенно ошибся. 13 лет назад я задался вопросом, почему уравнение
имеет решение в натуральных числах. Однако, методы нахождения пифагоровых троек, предлагаемые современной теорией чисел, меня не устраивали, так как получаемые тройки между собой никак не были связаны, а потому никакой анализ их не был возможным. Однако известно, что сам Пифагор находил свои тройки посредством уравнения:
(2)
Вопрос: откуда он взял это уравнение? Впишем на радиус
окружности прямоугольный треугольник OAB.
Рис. 1.
[url]URL=http://www.radikal.ru]
[/url][/url]
Данный прямоугольный треугольник соответствует первичной пифагоровой тройке
. Поскольку
, то
.
Поскольку радиус окружности может принимать размерность от 1 до
, то и значения
и
, могут принимать те же значения. Для любой окружности радиусом
, всегда
. При этом, если мы рассматриваем, что
числа натуральные, то и значение
, всегда будет числом натуральным, что обеспечивает нахождение всего множества пифагоровых троек.
Представим уравнение
в виде
преобразуя которое, получим:
(3)
Отсюда видно, что при
, мы получим искомое уравнение Пифагора (1).
Значение
будет:
(4)
И тогда уравнение
можно представить как:
(5)
Откуда
или
(6)
(6*)
Тем самым неопределенное уравнение
(7) становится вполне определяемым, где
; и
, и позволяет разложить любое значение
. Для разложения
в натуральных числах, требуется, что бы значение
было так же числом натуральным.
Вернемся к свойствам самих пифагоровых троек, т. е. решениям уравнения (5). Поскольку подробный анализ свойств пифагоровых троек изложен в моей работе «Диалектика чисел», здесь я остановлюсь только на основных их свойствах. Точку A (рис. 1) с координатами
, (выраженную в натуральных числах, в данном случае 4; 3), назовем резонансной точкой. Данная точка расположена на эллиптической кривой
, отображающую уравнение (2). Каждому значению
соответствует своя эллиптическая кривая, на которой расположены все резонансные точки, определяемые уравнением (3). Для определения резонансных точек следует составлять таблицы соответствующие каждому значению
в отдельности (см. рис. 2).
Каждую такую последовательность резонансных точек я назвал дельта - функцией (\Deltaфункцией). Следует отметить, что не каждому натуральному значению
соответствуют натуральные значения
, но, в любом случае, это есть решение прямоугольного треугольника. Если гипотенузу OA треугольника (рис. 1) продолжить в бесконечность, то на ней отложатся тройки, согласно уравнению
(8). Причем, каждая такая тройка будет принадлежать своей и только своей - функции (эллиптической кривой) и потому никакие сокращения троек на НОД не допустимы.
Рис. 2.
[url][URL=http://www.radikal.ru]
[/url][/url]
Каждой примитивной (первообразной) тройке принадлежит свой прямоугольный треугольник и если их гипотенузы продолжить в бесконечность. То мы получим прямые, я назвал их вектор – тангенсоидами (V- тангенсоида), на которых будет расположено бесконечное множество производных троек согласно уравнению (8). Что отображено на рис. 3.
Рис. 3.
[url][URL=http://www.radikal.ru]
[/url][/url]
Следует отметить, что доказательство Великой теорема сделанное Эндрю Уайлсом в общем виде сводится к доказательству того, что пифагоровы тройки могут быть расположены только на эллиптических кривых. В свою очередь любая эллиптическая кривая принадлежит только квадратному уравнению. Только доказательство Э. Уайлсом осуществлено методом «спуска», а в «Диалектике чисел» доказывается то же самое, только методом «подъёма».
Таким образом, все пифагоровы тройки делятся на две группы:
- первообразные, (примитивные), не имеющие общего делителя;
- производные, имеющие наибольший общий делитель.
Кроме того, все пифагоровы тройки по своим свойствам подобны между собой и никаких исключений нет, и не может быть.
Если уравнение (8) представить в виде
(9), то решение данного уравнения, как для прямоугольного треугольника возможно только в случае:
, и выражены они, должны быть, в натуральных числах. Причем, обязательным условием является:
, где
(10).
В любом другом случае, это уже не будет решением прямоугольного треугольника.
Рис. 4.
[url][URL=http://www.radikal.ru]
[/url][/url]
Предположим, что на гипотенузе Z расположен квадрат площадью
(см. рис. 4), который нам требуется разложить на два квадрата с площадями
и
, и стороны которых
выражены в натуральных числах.
Таким образом, мы должны решить задачу: возможно ли решить уравнение
(11) в натуральных числах. Поскольку только их равенство позволит доказать неправомерность ВТФ.
Приведем данное уравнение к виду (9):
или $Ax^2 + By^2 = Cz^2,
где:
; а квадраты
есть единичные квадраты (на рис. 4 – квадраты красного цвета).
Вместо
и
подставим их значения согласно уравнениям (3), (4), которые являются единственно истинными для решения прямоугольного треугольника:
После возведения в степень и сокращений получим:
Таким образом, данное уравнение имеет решение относительно коэффициентов, только когда:
откуда
.
; откуда
.
; откуда
;
т. е.
.
Это следует понимать так, если мы имеем квадрат площадью
и стороной, выраженной натуральным числом, то его можно разложить только на один квадрат площадью
или
со стороной выраженной натуральным числом. Сторона второго квадрата никогда натуральным числом выражена не будет.
И обратный вывод, если сложить два квадрата площадями
и
, то сторона суммированного квадрата никогда не будет выражена натуральным числом. Придти к данному доказательству возможно только после детального изучения свойств пифагоровых чисел.
P.S. Вопрос: Достаточно ли было П. Ферма данного доказательства для вывода своей Великой теоремы.