2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Загадка ВТФ раскрыта?
Сообщение26.12.2010, 11:59 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

axtezius в сообщении #391601 писал(а):
Жду <…> комментарий
Комментарий — слово мужского рода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка ВТФ раскрыта?
Сообщение26.12.2010, 15:19 
Заблокирован


03/09/06

188
Украина, г. Харьков
axtezius в сообщении #391392 писал(а):
Привожу пример:
Таблица 1.
[url][URL=http://www.radikal.ru]Изображение[/url][/url]



Словесную шелупонь вырезал, не моргнув ясными глазенками.
Из 60-ти числовых примеров по меньшей мере в 25-ти примерах автор
допустил ошибки в вычислениях.

Всё дерзать хотят голубчики, дерзать. Образованность всё хочут показать.
(А. Иванов)

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка ВТФ раскрыта?
Сообщение28.12.2010, 10:27 


28/12/10
7
Пермещено автором в другую тему

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка ВТФ раскрыта?
Сообщение28.12.2010, 11:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
chulichkov2010 в сообщении #392682 писал(а):
Я утверждал (а не утверждала), что сумма иррационального и целого есть иррациональное. Вы взяли два иррациональных.

Упрёк принимаю - действительно неверно прочитал.

(Оффтоп)

chulichkov2010 в сообщении #392682 писал(а):
У меня, кстати, сейчас глубокая ночь

Поэтому и отвечаете не в той теме?
А у меня, кстати (или, скорее, совсем некстати) приём зачётов у самых отборных кадров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка ВТФ раскрыта?
Сообщение29.12.2010, 13:18 
Аватара пользователя


24/07/10
19
Таллин
axtezius в сообщении #391601 писал(а):
откуда ; ; .


-- Ср дек 29, 2010 13:38:18 --

Действительно, таблица для $\Delta = 5$ перевелась некорректно, правильно так:
[url][URL=http://www.radikal.ru]Изображение[/url][/url]

Так же и здесь следует читать так:откуда $X =\sqrt{x^n}$; $Y=\sqrt{y^n}$; $Z=\sqrt{z^n}$

Лицо допустившее данные ошибки при публикации, строго наказано - встречу Нового года проведет на "сухом пайке". :lol:

Поздравляю всех с наступающим Новым годом, желаю всяческих успехов, любви и хорошего здоровья!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка ВТФ раскрыта?
Сообщение24.01.2011, 13:50 
Аватара пользователя


24/07/10
19
Таллин
Алгебраическое доказательство ВТФ.

Великая теорема Ферма гласит: «Ни куб на два куба, ни квадрато – квадрат и вообще никакая, кроме квадрата, степень не может быть разложена на сумму двух таких же». Тем самым он утверждает, что при $n > 2$ выразить уравнение $z^n = x^n + y^n$ (1) в натуральных числах невозможно. После бесконечных неудачных попыток найти элементарное доказательство ВТФ сформировалось мнение, что П. Ферма сделав приписку к теореме: «Я нашел удивительное доказательство тому…» самоуверенно ошибся. 13 лет назад я задался вопросом, почему уравнение
$z^2 = x^2  + y^2$ имеет решение в натуральных числах. Однако, методы нахождения пифагоровых троек, предлагаемые современной теорией чисел, меня не устраивали, так как получаемые тройки между собой никак не были связаны, а потому никакой анализ их не был возможным. Однако известно, что сам Пифагор находил свои тройки посредством уравнения:

$$x=\frac{y^2-1}{2}$$ (2)

Вопрос: откуда он взял это уравнение? Впишем на радиус $R = z$ окружности прямоугольный треугольник OAB.
Рис. 1.

[url]URL=http://www.radikal.ru]Изображение[/url][/url]

Данный прямоугольный треугольник соответствует первичной пифагоровой тройке $x = 4; y = 3; z = 5$. Поскольку $R = OA = (OB + BC)$, то $z = x + \Delta$.
Поскольку радиус окружности может принимать размерность от 1 до $\infty$, то и значения $x$ и $z$, могут принимать те же значения. Для любой окружности радиусом $R =z$, всегда $z = x+ \Delta$. При этом, если мы рассматриваем, что $x, y, z$ числа натуральные, то и значение $\Delta (0 < \Delta < z)$, всегда будет числом натуральным, что обеспечивает нахождение всего множества пифагоровых троек.
Представим уравнение $$x^2 + y^2 = z^2$$
в виде $$x^2+y^2=(x + \Delta)^2$$
преобразуя которое, получим:
$$x=\frac{y^2-\Delta^2}{2\Delta}$$

(3)
Отсюда видно, что при $\Delta = 1$, мы получим искомое уравнение Пифагора (1).
Значение $z$ будет:
$$z=\frac{y^2+\Delta^2}{2\Delta}$$
(4)
И тогда уравнение $x^2 + y^2 = z^2$
можно представить как:
$$A\left(\frac{y^2-\Delta^2}{2\Delta}\right)^2+By^2= C\left(\frac{y^2+\Delta^2}{2\Delta}\right)^2$$
(5)
Откуда
$$y=\sqrt{\Delta^2+2x\Delta}$$
или
$$y=\sqrt{(x+z)\Delta}$$ (6)

$$\Delta=\frac{y^2}{x+z}$$
(6*)
Тем самым неопределенное уравнение $z^2 = x^2 + y^2$ (7) становится вполне определяемым, где $z > x > y$; и $0 < \Delta < z$, и позволяет разложить любое значение $z^2$. Для разложения $z^2$ в натуральных числах, требуется, что бы значение $\Delta$ было так же числом натуральным.
Вернемся к свойствам самих пифагоровых троек, т. е. решениям уравнения (5). Поскольку подробный анализ свойств пифагоровых троек изложен в моей работе «Диалектика чисел», здесь я остановлюсь только на основных их свойствах. Точку A (рис. 1) с координатами $x, y$, (выраженную в натуральных числах, в данном случае 4; 3), назовем резонансной точкой. Данная точка расположена на эллиптической кривой $f(\Delta)$, отображающую уравнение (2). Каждому значению $\Delta$ соответствует своя эллиптическая кривая, на которой расположены все резонансные точки, определяемые уравнением (3). Для определения резонансных точек следует составлять таблицы соответствующие каждому значению $\Delta$ в отдельности (см. рис. 2).
Каждую такую последовательность резонансных точек я назвал дельта - функцией (\Deltaфункцией). Следует отметить, что не каждому натуральному значению $y$ соответствуют натуральные значения $x$, но, в любом случае, это есть решение прямоугольного треугольника. Если гипотенузу OA треугольника (рис. 1) продолжить в бесконечность, то на ней отложатся тройки, согласно уравнению $mz^2 = mx^2 + my^2$ (8). Причем, каждая такая тройка будет принадлежать своей и только своей - функции (эллиптической кривой) и потому никакие сокращения троек на НОД не допустимы.

Рис. 2.


[url][URL=http://www.radikal.ru]Изображение[/url][/url]

Каждой примитивной (первообразной) тройке принадлежит свой прямоугольный треугольник и если их гипотенузы продолжить в бесконечность. То мы получим прямые, я назвал их вектор – тангенсоидами (V- тангенсоида), на которых будет расположено бесконечное множество производных троек согласно уравнению (8). Что отображено на рис. 3.

Рис. 3.

[url][URL=http://www.radikal.ru]Изображение[/url][/url]

Следует отметить, что доказательство Великой теорема сделанное Эндрю Уайлсом в общем виде сводится к доказательству того, что пифагоровы тройки могут быть расположены только на эллиптических кривых. В свою очередь любая эллиптическая кривая принадлежит только квадратному уравнению. Только доказательство Э. Уайлсом осуществлено методом «спуска», а в «Диалектике чисел» доказывается то же самое, только методом «подъёма».
Таким образом, все пифагоровы тройки делятся на две группы:
- первообразные, (примитивные), не имеющие общего делителя;
- производные, имеющие наибольший общий делитель.
Кроме того, все пифагоровы тройки по своим свойствам подобны между собой и никаких исключений нет, и не может быть.
Если уравнение (8) представить в виде $Ax^2 + By^2 = Cz^2$ (9), то решение данного уравнения, как для прямоугольного треугольника возможно только в случае: $A = B = C = m$, и выражены они, должны быть, в натуральных числах. Причем, обязательным условием является:
$\Deltaz – x$, где $z > x > y$ (10).
В любом другом случае, это уже не будет решением прямоугольного треугольника.

Рис. 4.
[url][URL=http://www.radikal.ru]Изображение[/url][/url]
Предположим, что на гипотенузе Z расположен квадрат площадью $z^2$ (см. рис. 4), который нам требуется разложить на два квадрата с площадями $x^n$ и $y^n$, и стороны которых $(X; Y; Z)$ выражены в натуральных числах.
Таким образом, мы должны решить задачу: возможно ли решить уравнение $x^n+y^n=z^n$ (11) в натуральных числах. Поскольку только их равенство позволит доказать неправомерность ВТФ.

Приведем данное уравнение к виду (9):
$x^{n-2}x^2+y^{n-2}y^2=z^{n-2}z^2$ или $Ax^2 + By^2 = Cz^2,
где: $A = x^{n-2};  B = y^{n-2};  C = z^{n-2}$; а квадраты $x^2; y^2; z^2$ есть единичные квадраты (на рис. 4 – квадраты красного цвета).
Вместо $x$ и $z$ подставим их значения согласно уравнениям (3), (4), которые являются единственно истинными для решения прямоугольного треугольника:
$$A\left(\frac{y^2-\Delta^2}{2\Delta}\right)^2+By^2= C\left(\frac{y^2+\Delta^2}{2\Delta}\right)^2$$

После возведения в степень и сокращений получим:

$$Ay^4+2Ay^2\Delta^2+A\Delta^4+4By^2\Delta^2=
Cy^4+2Cy^2\Delta^2+C\Delta^4$$
$$y^4(A-C)+2y^2\Delta^2(2B-C-A)+\Delta^4(A-C)=0$$
$$(A-C)(y^4+\Delta^4)+2y^2\Delta^2(2B-C-A)=0$$

Таким образом, данное уравнение имеет решение относительно коэффициентов, только когда:
$( A - C) =  -(2B - C - A)$ откуда $B = C$.
$(A – C) = 0$; откуда $A = C$.
$(2B – A – C) = 0$; откуда
$B=\frac{A+C}{2}$;
т. е. $C > A > B$.
Это следует понимать так, если мы имеем квадрат площадью $z^n$ и стороной, выраженной натуральным числом, то его можно разложить только на один квадрат площадью $x^n$ или $y^n$ со стороной выраженной натуральным числом. Сторона второго квадрата никогда натуральным числом выражена не будет.
И обратный вывод, если сложить два квадрата площадями $x^n$ и $y^n$, то сторона суммированного квадрата никогда не будет выражена натуральным числом. Придти к данному доказательству возможно только после детального изучения свойств пифагоровых чисел.
P.S. Вопрос: Достаточно ли было П. Ферма данного доказательства для вывода своей Великой теоремы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка ВТФ раскрыта?
Сообщение24.01.2011, 14:50 
Аватара пользователя


23/05/10
145
Москва
axtezius в сообщении #403744 писал(а):
Предположим, что на гипотенузе Z расположен квадрат площадью $z^2$ (см. рис. 4), который нам требуется разложить на два квадрата с площадями $x^n$ и $y^n$

Это описка?

axtezius в сообщении #403744 писал(а):
Приведем данное уравнение к виду (9):
$x^{n-2}x^2+y^{n-2}y^2=z^{n-2}z^2$ или $Ax^2 + By^2 = Cz^2,
где: $A = x^{n-2};  B = y^{n-2};  C = z^{n-2}$; а квадраты $x^2; y^2; z^2$ есть единичные квадраты (на рис. 4 – квадраты красного цвета).
Вместо $x$ и $z$ подставим их значения согласно уравнениям (3), (4), которые являются единственно истинными для решения прямоугольного треугольника:
$$A\left(\frac{y^2-\Delta^2}{2\Delta}\right)^2+By^2= C\left(\frac{y^2+\Delta^2}{2\Delta}\right)^2$$

С чего Вы взяли, что $x$ и $y$ являются решениями для прямоугольного треугольника?

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка ВТФ раскрыта?
Сообщение28.01.2011, 01:42 
Аватара пользователя


24/07/10
19
Таллин
r-aax
Спасибо, действительно очипятка. Надо:$x^n$.

Цитата:
С чего Вы взяли, что и являются решениями для прямоугольного треугольника?


Из начальных условий и согласно рис. 4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка ВТФ раскрыта?
Сообщение28.01.2011, 12:20 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
axtezius в сообщении #403744 писал(а):
Вопрос: Достаточно ли было П. Ферма данного доказательства для вывода своей Великой теоремы.

Ответ: Нет, не достаточно.
Рассмотрены лишь прямоугольные треугольники, а гипотетический треугольник, отвечающий уравнению Ферма,составленный из натуральных чисел, неизбежно будет остроугольным. :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка ВТФ раскрыта?
Сообщение28.01.2011, 13:00 
Аватара пользователя


23/05/10
145
Москва
axtezius в сообщении #405649 писал(а):
Цитата:
С чего Вы взяли, что и являются решениями для прямоугольного треугольника?

Из начальных условий и согласно рис. 4.

Таких начальных условий в ТФ нет.

Вы доказываете только то, что одновременно не могут выполняться два равенства: $x^2 + y^2 = z^2$ и $x^n + y^n = z^n$ для одних и тех же $x$, $y$ и $z$, но это и так очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка ВТФ раскрыта?
Сообщение28.01.2011, 17:42 
Заблокирован


22/01/11

22
"r-aax" - "браво"!
Вы явно делаете успехи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка ВТФ раскрыта?
Сообщение28.01.2011, 17:48 
Аватара пользователя


23/05/10
145
Москва
iakovlev в сообщении #405918 писал(а):
"r-aax" - "браво"!
Вы явно делаете успехи.

(Оффтоп)

У Вас ошибка так и осталась...

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка ВТФ раскрыта?
Сообщение03.02.2011, 14:24 
Аватара пользователя


24/07/10
19
Таллин
Милые мои друзья – оппоненты, я над ВТФ работаю уже 13 лет и, естественно, что мне все понятно без каких-либо дополнительных пояснений. А, потому, сложилось мнение, что и другие поймут сразу все, что я хотел сказать. Ну и с опечатками та же история: когда одно и то же перепечатываешь помногу раз, уже допущенные ошибки просто не замечаешь, Уж не сердитесь на старика…
Ну а теперь позвольте закончить пояснения.

Рис. 1.

[url][URL=http://www.radikal.ru]Изображение[/url][/url]

Самое главное, о чем все время забываю сказать. Обратимся к рис. 1, здесь видно, что графики уравнений (3), представляют собой эллиптические кривые, эксцентриситет которых, по мере удаления от центра координат, стремится к единице. Причем, каждому значению $\Delta$, соответствует своя эллиптическая кривая, по ветвям которой располагаются значения $z$, соответствующие значениям $\pm{y}$. Тем самым неопределенность значения $z^2=(x+yi)(x-yi)$ уже будет включена в уравнение (3). Таким образом, неопределенное уравнение $x^2+y^2=z^2$ в виде уравнения (5) становится конкретно определяемым.
Теперь предположим, что уравнение (1) имеет решение в натуральных числах, а это значит, что должно иметь место решение прямоугольного треугольника, $x^n+y^n=z^n$ аналогично решению $x^2+y^2=z^2$ (см. рис. 2), т. е. будем вести доказательство от противного.

Рис. 2.
[url][URL=http://www.radikal.ru]Изображение[/url][/url]

Для доказательства построим единичный треугольник согласно условий рассмотренных выше. При этом возможны два варианта:
- Разложить квадрат площадью $z^n$ на два квадрата $x^n$ и $y^n$. Тогда по значению $z$ принимаем значение $\Delta$ и согласно условия $z>\Delta<x$, где $\Delta$ число натуральное, определяем $x$, а по уравнению $y=\sqrt{(x+z)\Delta}$, определим значение $y$.
- Обратное решение, сложить два квадрата площадями $x^n$ и $y^n$. Здесь значения $x$ и $y$ уже заданы и значение $z$ определяется из $z=\sqrt{x^2+y^2}$. В обоих случаях полученный треугольник $OCD$ будет прямоугольным. Это чисто гипотетический треугольник, т. е. мы, предполагаем, что он имеет решение в натуральных числах. Здесь следует сказать, что уже на этом этапе, если $\Delta$ выражено натуральным числом, разложить данный единичный треугольник в натуральных числах будет уже невозможно. Тем не менее, предположим обратное. Тогда при умножении значений $x; y; z$ на коэффициенты $A; B; C$, мы из треугольника OCD должны будем получить треугольник OAB, но это будет возможным только при равенстве коэффициентов $A=B=C$. Но поскольку, согласно произведенным вычислениям, такое равенство невозможно, следует, что теорема П. Ферма, справедлива.

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка ВТФ раскрыта?
Сообщение03.02.2011, 15:18 
Аватара пользователя


25/02/07

887
Симферополь
axtezius в сообщении #408567 писал(а):
я над ВТФ работаю уже 13 лет

А я 23. Или 24, уже не помню. И постоянно нахожу что-то новое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка ВТФ раскрыта?
Сообщение03.02.2011, 17:07 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
axtezius в сообщении #408567 писал(а):
Милые мои друзья – оппоненты, я над ВТФ работаю уже 13 лет и, естественно, что мне все понятно без каких-либо дополнительных пояснений.
Не похоже, что всё понятно.
Вам уже возразили:
r-aax в сообщении #405783 писал(а):
Вы доказываете только то, что одновременно не могут выполняться два равенства: $x^2 + y^2 = z^2$ и $x^n + y^n = z^n$ для одних и тех же $x$, $y$ и $z$, но это и так очевидно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 46 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group