Невыпуклая функция

[Руст]

Приведете пример невыпуклой функции, удовлетворяющей условию:
$f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y), \ \ \forall x,y \in R \ \forall t\in Q,0<t<1.$
Заметим, что функция называется выпуклой, если это условие выполняется для любого действительного t из интервала (0,1).

[Brukvalub]

Может, подойдет функция $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\left| x \right|,\quad x \notin Q} \\ {0,\quad x \in Q} \\ \end{array}} \right.$
Символ Q выше обозначает множество рациональных чисел.
Кстати, для указанного Вами свойства выпуклости обычно используют термин "функция, выпуклая вниз", поскольку термин "выпуклая функция" объединяет два класса функций - как выпуклых вниз, так и выпуклых вверх.

[Руст]

Ваша функция не годится. Например $x=3-2\sqrt 2 , t=\frac 12 , y=3$.
Что касается терминологии, то наряду с вашим используется "выпуклая" и "вогнутая" (возможно даже чаще) вместо "выпуклая вниз" и "выпуклая вверх".

[XpeH]

Прошу прощения что лезу со своими урезанными знаниями по математике(все таки я больше педагог чем математик), но кажется функция f(x)=1/(D(x)+1) подходит, D(x) - функция Дирихле.
PS Не стреляйте в пианиста, он играет как умеет.

[Руст]

Нет, простые функции не подходят Легко проверить, что двузначные функции не подходят. Вообще контпример на всём R (как в неконструктивном множестве) строится так же неконструктивными методами (с помощью аксиомы выбора). Если бы огранились конструктивным подмножеством R, то существует и конструктивный контрпример.

[reader_st]

Руст

А может воспользоваться тем условием, что выпуклая функция имеет положительную вторую производную (это касается функции одной переменной).

P.S. Термин "фунцкия выпукла вниз (вверх)" обычно употребляется в экономике (экономистам так проще).

[Sasha2]

А мне кажется, что термин "выпуклая функция" сам по себе не имеет смысла, он имеет смысл только в связке с интервалом, про который мы говорим, что там функция выпуклая, или таковой не является. Поэтому невыпуклость это не "для всех x", а "существует x".

[Genrih]

reader_st писал(а):

А может воспользоваться тем условием, что выпуклая функция имеет положительную вторую производную (это касается функции одной переменной).

Eй и непрерывной необязательно быть.

[Юстас]

Несложно понять, что у этой функции не будет локальных экстремумов ни на каком интервале, поэтому и непрерывности нигде не будет.

[Аурелиано Буэндиа]

Руст писал(а):

Приведете пример невыпуклой функции, удовлетворяющей условию:
$f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y), \ \ \forall x,y \in R \ \forall t\in Q,0<t<1.$
Заметим, что функция называется выпуклой, если это условие выполняется для любого действительного t из интервала (0,1).

Из определения ясно, что невыпуклость инариантна относительно сдвига на константу $f(x)\to f(x)+const$, поэтому функция $f(x)=1$ невыпукла. (К разговору о простых решениях)

[Руст]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Из определения ясно, что невыпуклость инариантна относительно сдвига на константу $f(x)\to f(x)+const$, поэтому функция $f(x)=1$ невыпукла. (К разговору о простых решениях)

Да выпуклость, соответственно и его отрицание "невыпуклость" инвариантна относительно сдвига значений (и аргумента) на константу. Только от этого следует, что f(x)=1 выпуклая функция.

[Руст]

Интерес иссяк. Приведу пример. Ясно, что если функция f является линейной относительно Q, то указанное свойство выполняется (равенство при любом рациональном t). Поэтому, достаточно привести пример линейной функции над Q, но разрывную. Это легко построить (с помощью аксиомы выбора) через базис Гамеля R над Q. Например, таким будет функция, сопоставляющая х проекцию на первую координату.

[Capella]

По моему при данной постановке задача будет иметь одно тривиальное решение точно.
Надо взять просто нулевую функцию $ f(x) = 0, x \in \mathbb{R} $, то условие равенства будет выполнено всегда. Кроме того, эта функция будет непрерывной.

ЗЫ Хотя эта функция может подходить под одно определение вогнутости, которое я изучала ещё на первом курсе, где допускается равенство точек внутреннего интервала с крайними точками....

[Аурелиано Буэндиа]

Capella писал(а):

Кроме того, эта функция будет непрерывной.

Нет. Она будет выпуклой, а нужно невыпуклую

[Capella]

нуда, Руст к тому-же описал уже : Поэтому, достаточно привести пример линейной функции над Q, но разрывную