2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 решить уравнение Yoshio Koide в натуральных числах
Сообщение31.08.2006, 16:11 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
В физике встречается формула Ёшио Койде
$$
\frac{x+y+z}{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}=\frac{2}{3}.
$$
Возник вопрос, а дупускает ли это уравнение решение в натуральных числах $x<y<z$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2006, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Вроде нет решений, т.к. неразрешимо сравнение $x^2+y^2+z^2=0\mod4}$ при взаимнопростых $x,y,z$, хотя надо повнимательнее посмотреть

 Профиль  
                  
 
 Re: решить уравнение Yoshio Koide в натуральных числах
Сообщение31.08.2006, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/05
695
Ярославль
Аурелиано Буэндиа писал(а):
В физике встречается формула Ёшио Койде


А где в физике она встречается, извините? Изображение

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2006, 19:44 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Уравнение в целых числах сводится к решению в целых числах следующего уравнения: $a^2+b^2=3c^2$, которое очевидно не имеет решения (в левой части 3 может входить только в чётной степени, в правой нечётной).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.08.2006, 23:28 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Руст писал(а):
Уравнение в целых числах сводится к решению в целых числах следующего уравнения: $a^2+b^2=3c^2$, которое очевидно не имеет решения (в левой части 3 может входить только в чётной степени, в правой нечётной).

Руст, я не силен в теории чисел, поэтому поясните, пожалуйста, почему в левой части 3 может входить только в четной степени? С правой частью мне все понятно.
У меня тоже получалось такое равенство, когда я делал замену
$$
x=\left(a+2c-\frac{2}{3}b\right)^2,\ \ y=\left(c-\frac{2}{3}b\right)^2,\ \ z=\left(\frac{b}{3}\right)^2.
$$
т.е. я рассматривал $x,y,z$ как квадраты рациональных чисел. Но мне кажется, что множество квадратов натуральных чисел не равно множеству натуральных чисел. Если это так, то этот путь не гарантирует отсутствие натуральных решений у уравнения.

Борис Лейкин, посмотрите википедию.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.09.2006, 00:03 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Артамонов Ю.Н. писал(а):
Вроде нет решений, т.к. неразрешимо сравнение $x^2+y^2+z^2=0\mod4}$ при взаимнопростых $x,y,z$, хотя надо повнимательнее посмотреть

Это что-то умное и не очень понятное.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.09.2006, 01:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Пусть тройка $a$, $b$, $c$ несократима. Тогда:
$a^2+b^2= 3 c^2 \Rightarrow $ $a^2+b^2 \dot: 3 \Rightarrow$ (рассмотрев остатки квадратов по модулю 3) $a \dot: 3 \wedge b \dot: 3 \Rightarrow$ $a^2+b^2 \dot: 9 \Rightarrow$ $c \dot: 3$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.09.2006, 07:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Аурелиано Буэндиа писал(а):
Артамонов Ю.Н. писал(а):
Вроде нет решений, т.к. неразрешимо сравнение $x^2+y^2+z^2=0\mod4}$ при взаимнопростых $x,y,z$, хотя надо повнимательнее посмотреть

Это что-то умное и не очень понятное.

Да ничего хитрого здесь нет, все даже более непосредственно вытекает: вместо $x,y,z$ вводим $a^2=x,b^2=y,c^2=z$. Тогда уравнение сведется к $\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}=\frac{2}{3}$. После преобразований имеем $4(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$. Далее заметим, что есть смысл рассматривать только взаимнопростые решения, значит $(a,b)=1, (b,c)=1, (a,c)=1$. Перебирая все возможные остатки выражения $a^2+b^2+c^2$ при взаимнопростых $a,b,c$ по модулю 4 убеждаемся, что решений нет. Только я чего-нибудь мог пропустить в этом переборе, поэтому говорил, что нужно повнимательнее посмотреть. Может сами попробуете.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.09.2006, 08:09 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Да это так же проходит. Единственное осталось показать, что если
$$\sum_{k=1}^n \sqrt{r_k}=q\Longrightarrow \sqrt{r_i}=q_i.$$
Здесь все переменные рациональные числа.
Это известная олимпиадная, для $n<6$ можно легко доказать школьными методами. При $n=1$ доказывать ничего. При $n=2$ перенесём первую переменную направо и возведём в квадрат и отсюда получим, что квадратный корень от первого числа рациональное, а следовательно это верно и для второго. При $n=3$ поступим так же и получим, сумма двух квадратных корней от рациональных чисел равно рациональному, т.е. пришли к $n=2$. Одно из них наша переменная, значит сумма и двух исходных квадратных переменных рациональное. Ещё раз ссылаясь к $n=2$ получим все $r_i$ квадраты рациональных чисел. Так как ваше уравнение однородное, то приводя к общему знаменателю приводится к решению в целых числах.
Что касается того, что из $p|x^2+y^2>0\Longrightarrow ord_p(x^2+y^2)-even \ or \ p=1\pmod 4$ я считал всем известным. Я когда то объяснял это семикласснику.
Так что ваше уравнение не имеет решения в рациональных числах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group