Формулы: функция Эйлера и дзета-функции Римана

[Imperator]

Доказать, что для любого вещественного $x\geqslant 2$
1. $\sum\limits_{n=1}^{[x]}\frac{\varphi (n)}{n}=\frac{x}{\zeta(2)}+O(\log x);$
2. $\sum\limits_{n=1}^{[x]}\frac{\varphi (n)}{n^2}=\frac{\log x}{\zeta(2)}+O(\frac{\log x}{x}).$

$[x]$ -- целая часть $x,$
$\varphi (\cdot)$ -- функция Эйлера,
$\zeta (\cdot)$ -- дзета-функция Римана.

[RIP]

Надо воспользоваться формулой $\phi(n)=n\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}d$ и тупо поменять порядок суммирования. Вторая формула неверна: пропущена константа.

[maxal]

Можно еще добавить
0. $\sum\limits_{n=1}^{\lfloor x\rfloor} \varphi(n) = \frac{1}{2\zeta(2)} x^2 + O(x\ln x)$

Кстати, асимптотики 0 и 1 я использовал в своей статье http://arxiv.org/abs/math/0602511 (скоро выйдет в SIAM Journal on Discrete Mathematics)

[Imperator]

RIP, да, я знаю, что надо эту формулу использовать.
0 и 1 легко доказываются. С 2 немного, правда, повозиться надо. Там даже 2 константы выходят.

maxal, мне тоже эти вещи нужны для статьи. Сколько там ждать надо, чтобы опубликовали?

[maxal]

Imperator в сообщении #362693 писал(а):

maxal, мне тоже эти вещи нужны для статьи. Сколько там ждать надо, чтобы опубликовали?

Тогда проще процитировать какую-нибудь книжку (например, 0 и 1 есть в Прахаре - возможно, и 2 тоже), чем изобретать велосипед.
У меня процесс реферирования в SIAM J Discrete Math занял около года.

[Imperator]

Еще порция формул.
3. $\sum\limits_{n=1}^{[x]}\frac{\varphi(n)}{n^a}=\frac{x^{2-a}}{(2-a)\zeta(2)}+\frac{\zeta(a-1)}{\zeta(a)}+O(x^{1-a}\log x),$
если $a>1, a\neq 2.$
4. $\sum\limits_{n=1}^{[x]}\frac{\varphi(n)}{n^a}=\frac{x^{2-a}}{(2-a)\zeta(2)}+O(x^{1-a}\log x),$
если $a\leqslant 1.$