2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Про суммы множеств
Сообщение14.10.2010, 22:04 
Требуется доказать такое свойство:
если $X\perp Y, \quad X+X^\perp=V,Y+Y^\perp=V,\quad V$ - предгильбертово пространство, X и Y - его подмножества, то $(X+Y)+(X+Y)^\perp=V$.
Я хотел это сделать так:
$\forall x\in V: \quad x=x_1+x_2, x_1\in X, x_2\in X^\perp,\quad x=y_1+y_2,y_1\in Y,y_2\in Y^\perp,$ тогда пусть
$y=\frac{x_1+y_1}{2}\in X+Y, \quad z=\frac{x_2+y_2}{2}\in X^\perp+Y^\perp$, и если бы $X^\perp+Y^\perp=(X+Y)^\perp$, то все было бы нормально, но это не так, как быть теперь?

Хотя, вроде, так тоже было бы неверно.

Можно ли распространить это свойство на произвольное семейство индексов? То есть если
$X_i\perp X_j,\quad i,j\in I, X_i+X_i^\perp=V \quad \forall i $, то верно ли, что $(\sum_{i\in I} X_i)+(\sum_{i\in I} X_i)^\perp=V$?

 
 
 
 Re: Про суммы множеств
Сообщение15.10.2010, 08:52 
fish-ka в сообщении #362138 писал(а):
и если бы $X^\perp+Y^\perp=(X+Y)^\perp$, то все было бы нормально, но это не так

Это, конечно, неверно, но зато верно, что $(X+Y)^\perp=X^\perp\cap Y^\perp$, а тогда всё достаточно очевидно.

 
 
 
 Re: Про суммы множеств
Сообщение22.10.2010, 20:59 
Да, спасибо, разобрался с конечным случаем. А что делать, если $I$- не обязательно конечномерное семейство? По аналогии не получается.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group