Про суммы множеств

[fish-ka]

Требуется доказать такое свойство:
если $X\perp Y, \quad X+X^\perp=V,Y+Y^\perp=V,\quad V$ - предгильбертово пространство, X и Y - его подмножества, то $(X+Y)+(X+Y)^\perp=V$.
Я хотел это сделать так:
$\forall x\in V: \quad x=x_1+x_2, x_1\in X, x_2\in X^\perp,\quad x=y_1+y_2,y_1\in Y,y_2\in Y^\perp,$ тогда пусть
$y=\frac{x_1+y_1}{2}\in X+Y, \quad z=\frac{x_2+y_2}{2}\in X^\perp+Y^\perp$, и если бы $X^\perp+Y^\perp=(X+Y)^\perp$, то все было бы нормально, но это не так, как быть теперь?

Хотя, вроде, так тоже было бы неверно.

Можно ли распространить это свойство на произвольное семейство индексов? То есть если
$X_i\perp X_j,\quad i,j\in I, X_i+X_i^\perp=V \quad \forall i $, то верно ли, что $(\sum_{i\in I} X_i)+(\sum_{i\in I} X_i)^\perp=V$?

[ewert]

fish-ka в сообщении #362138 писал(а):

и если бы $X^\perp+Y^\perp=(X+Y)^\perp$, то все было бы нормально, но это не так

Это, конечно, неверно, но зато верно, что $(X+Y)^\perp=X^\perp\cap Y^\perp$, а тогда всё достаточно очевидно.

[fish-ka]

Да, спасибо, разобрался с конечным случаем. А что делать, если $I$- не обязательно конечномерное семейство? По аналогии не получается.