2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Тригонометрическое неравенство.
Сообщение29.08.2006, 15:01 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Докажите, что $sin\sqrt x <\sqrt{\sin x}, \  \forall x\in (0,\frac{\pi }{2}].$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 17:15 


27/08/06
579
Может допустимо следующее рассуждение:
Поскольку обе функции монотонно возрастающие и несовподающие
всюду на указанном промежутке то необходимо необходимо проверить-
"какая функция находится под какой". Если к примеру первая находится под второй
то в некоторой точке х из нашего промежутка требуемое неравенство будет
выполнятся, а значит оно будет выполнятся и вообще для всех остальных
значений из этого промежутка , если заранее доказать, что
они негде не пересекаются на этом промежутке. Таким образом необходимо
проверить два условия
а) в некоторой точке x значение первой функции меньше второй
б)если знак неравенства в нашей задаче заменить на равенство то
наше уравнение не имеет решений в указанном промежутке.
Первое проверяется на калькуляторе.( я проверил)
Второе сразу не вижу способа решить. (может сам метод не верен)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 18:10 


24/05/06
72
Dialectic. Есть несколько вопросов.
Цитата:
Поскольку обе функции монотонно возрастающие и несовподающие всюду на указанном промежутке

То что они не имеют общих точек - это надо доказать.

Цитата:
а) в некоторой точке x значение первой функции меньше второй.
... Первое проверяется на калькуляторе.( я проверил)

А каким образом проверяли. Наверное, взяли с десяток чисел $x_1,x_2, ... ,x_n$
удостоверились, что неравенство истинно для них ... а остальные, ведь может найтись число из сколь угодно малого промежутка$x_1+\epsilon$, которое не удовлетворяет неравенству, на калькуляторе это не проверишь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 18:21 


27/08/06
579
MMyaf писал(а):
Цитата:
Поскольку обе функции монотонно возрастающие и несовподающие всюду на указанном промежутке

То что они не имеют общих точек - это надо доказать.


Я имел ввиду -" несовпадают в каждой точке" то есть, что они не тождественны.


MMyaf писал(а):
[
Цитата:

а) в некоторой точке x значение первой функции меньше второй.
... Первое проверяется на калькуляторе.( я проверил)


А каким образом проверяли. Наверное, взяли с десяток чисел
удостоверились, что неравенство истинно для них ... а остальные, ведь может найтись число из сколь угодно малого промежутка, которое не удовлетворяет неравенству, на калькуляторе это не проверишь


обе функции являются непрерывными в каждой точке указанного промежутка,
по этому они должны принять ВСЕ свои промежуточные значения между некоторыми
своими значениями, и значит еслибы первая функция была бы в начале меньше второй а
затем сделалась вдруг больше второй то необходимо должна найтись точка, в которой
эти функции равны. Чего не может быть в силу пункта б).
а то что первая функция хоть гдето меньше второй убеждаемся простой проверкой,
то есть достаточно взять лишь одну точку.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 18:52 


24/05/06
72
Тогда, уместно было бы,наверное переставить утерждение а), б) местами,т.е сначала доказать,что а) уравнение $\sin(\sqrt {x})=\sqrt{\sin(x)}$ не имеет решений,
а затем б)проверить значения ... . Иначе,то что истинно утверждение"в некоторой точке x значение первой функции меньше второй", без установленной истинности второго утверждение, ни о чем не говорит.
MathCAD решил уравнение \sqrt{\sin x}=\sin \sqrt{x}, x = 1,861622733944...

 Профиль  
                  
 
 Обобщение
Сообщение29.08.2006, 18:57 


12/02/06
110
Russia
Такое ощущение, будто бы вообще,
$$ \sin (x^{\frac{1}{n}}) <(\sin x)^{\frac{1}{n}}, \  \forall \ n>1, x\in (0,\frac{\pi }{2}].$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
Обозначим $f=\sqrt{sin x} - \sin{\sqrt{x}}$
Рассмотрим производную $f'=\frac{cos x}{\sqrt{sin x}} - \frac{\cos{\sqrt{x}}}{\sqrt x}$.
На интервале $(0,1]$ косинус убывает и $\frac{1}{\sqrt{x}} < \frac{1}{\sqrt{\sin x}} $ и следовательно разность $f'$ положительна (правый конец интервала можно продлить до некой точки, т.е. можно утверждать, что $f'>0$ на неком интервале $(0,1+\epsilon)$, т.к. очевидно $f'(1)>0$)

В точке $x=\frac{\pi}{2}$ $f'(\frac{\pi}{2})< 0 $, т.е. начиная с некоторой точки в интервале $(1, \frac{\pi}{2}]$ разность отрицательна. Остается лишь проверить значения исходных функций на концах интервала $(0,\frac{\pi}{2}]$

Однако надо доказать еще, что не будет больше смены монотонности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 19:16 


27/08/06
579
MMyaf писал(а):
Тогда, уместно было бы,наверное переставить утерждение а), б) местами,т.е сначала доказать,что а) уравнение $\sin(\sqrt {x})=\sqrt{\sin(x)}$ не имеет решений,
а затем б)проверить значения ... . Иначе,то что истинно утверждение"в некоторой точке x значение первой функции меньше второй", без установленной истинности второго утверждение, ни о чем не говорит.
MathCAD решил уравнение \sqrt{\sin x}=\sin \sqrt{x}, x = 1,861622733944...

но указанный Вами х больше pi/2.
Я попробывал решить уравнение. Но безуспешно и не каких формул под рукой нет...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 19:45 


24/05/06
72
Dialectic.
Да действительно. Вы правы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 20:14 


21/06/06
1721
Неравенство sin^2(sqrt{x}) < sin(sqrt{x}) выплняется для всех x из интервала (0,\frac{\{pi} {2}) в силу того, что на этом интервале данная функция принимает значения из интервала (0, 1). Далее для тех x, для которых выполняется sqrt(x)<x будет выполняться и неравенство sin(sqrt{x}) < sin({x}). Это уже в силу возрастания синуса. То есть на интервале от 1 до пи/2 это неравенство можно считать доказанным. Ну, конечно проверка в точках 1 и пи/2 выполняется непосредственно и вполне очевидно. Остался промежуток от 0 до 1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 20:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
Да, точно: $\sin^2{\sqrt{x}}<\sin{\sqrt x}< \sin x$ в интервале $[1,\frac{\pi}{2}]$.
И vbn прав.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2006, 08:36 


27/08/06
579
По скольку данная задача может быть целиком сведена к уравнению \sqrt{\sin x}=\sin \sqrt{x} то естествено возникает вопрос -Как его решить? По скольку я
решить его не смог, то у меня возникло ещё два вопроса
1.Решается ли вообще это уравнение "формульными" методами.
2.Существует ли критерий позволяющий ответить - какое тригонометрическое уравнение решается а какое нет "формульными" методами.

Под "формульными методами" понимаются все методы не содержащие
операции предельного перехода не под каким "соусом".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2006, 08:42 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Единственное решение вашего уравнения x=0.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2006, 10:45 


21/06/06
1721
Ну еще можно воспользоваться оценками, разложив обе эти функции в ряд Тейлора (точнее Малорена), но это не есть красивое решение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2006, 11:03 


27/08/06
579
Руст писал(а):
Единственное решение вашего уравнения x=0.

Не что не истина пока не доказанно.

Руст Вы не подскажите случайно -где можно найти ответы на мои вопросы?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group