Корень и любая последовательность

[Xenia1996]

Существует ли такое натуральное число $n$, что первые $8$ цифр дробной части (после запятой) числа $\sqrt n$ образуют число $20102011$?

(Оффтоп)

Интуитивно я нашла такое число: $\sqrt(50000000^2+20102012)$. Также полагаю, что можно получить любую последовательность. Идея в следующем: между $\sqrt (5^2)$ и $\sqrt (6^2)$ будет $11$ интервалов, между $\sqrt (50^2)$ и $\sqrt (51^2)$ - $101$ интервал и т.д. Но вот строгого доказательства я не нашла. Хелпните, плиз.

[TOTAL]

Xenia1996 в сообщении #361954 писал(а):

Существует ли такое натуральное число $n$, что первые $8$ цифр дробной части (после запятой) числа $\sqrt n$ образуют число $20102011$?

Перед запятой поставьте огромное число, затем приплюсуйте такое чуть-чуть, чтобы квадрат был целым.

[AlexandreII]

Пишем неравенство:
$x+\frac{p}{q} < \sqrt{n} < x+ \frac{p+1}{q}$
Здесь $x, p, q$ - целые, $p = 20102011, q = 10^8$.
В квадрат:
$\left(x+\frac{p}{q}\right)^2 < n < \left( x+ \frac{p+1}{q} \right)^2$

Надо, что $n$ было целое, т.е. когда данное неравенство имеет целое решение?
Проще всего потребовать, чтобы $d>1$, где $d$ - разность между правой и левой частью, тогда точно будет целое решение.

Дальше попробуйте сами