Минимум для сборки

[arseniiv]

Вот что-то придумалось. У нас есть 19 точек. Какова минимальная размерность пространства, в котором их все можно соединить отрезками только 4 различных длин? (Т. е. всего отрезков будет $n(n+1)/2$.)

Для любителей общих случаев $\left(19,\;4\right) \mapsto \left(n,\;k\right)$.

( )

[Хорхе]

Не понял. А точки-то где?

Имеется в виду такое что ли: для какой минимальной размерности существуют 19 точек etc?

[arseniiv]

Ну да, имел ввиду это. В размерностях ниже точек уже с таким свойством не будет.

-- Ср окт 06, 2010 23:29:07 --

Решу для $k = 1$ (для примера). Тогда имеем симплекс и минимальная размерность (давайте обозначим её здесь $d$?) $d = n$. Если не напутал.

[Хорхе]

Как же не напутать: для $k=1$ $d=n-1$ ($d=0$ если разрешить точкам совпадать ).

[ИСН]

Хм, да, интересно.
$d(n,1)=n-1$
$d(n,n-1)=1$ и дальше с ростом k не меняется.
Хочется сказать, что d=n-k, но это не так, потому что Ваши (19,4) я уже упихал в 7, а полагаю, что можно и в меньше (4, на крайняк 5).

[arseniiv]

Больше ничего не придумалось ни у кого? (Скажите мне, пожалуйста, хоть раз у меня получилась сто́ящая задача?)

[worm2]

Если Вы знаете решение — то да.

[ИСН]

Всё, я вложил в 4D.

[Null]

Можете координаты написать?

[ИСН]

(1,1,0,0)
(1,0,1,0)
(1,0,0,1)
(0,1,1,0)
(0,1,0,1)
(0,0,1,1)
(-1,1,0,0)
...
ну, дальше понятно.

-- Сб, 2010-10-09, 19:53 --

Короче говоря, конфигурация, реализующая максимальный kissing number.

[arseniiv]

А как насчёт условий $\left(23,\;3\right)$?

-- Вс окт 10, 2010 00:46:48 --

Вот знатная тема для серии последовательностей OEIS.

[EtCetera]

arseniiv
По-моему, более последовательно зайти с другой стороны: вместо нахождения минимальной размерности пространства $d$ по числу точек $n$ и числу различных длин $k$ можно искать максимальное $n$ при данных $d$ и $k$.
Тогда при $d=1$ $n(k)=k+1$.
При $d=2$ $n(k)\ge 2k+1$ (по-видимому, тут все-таки знак равенства, но точно утверждать не берусь), конфигурация - правильный многоугольник с нечетным числом вершин, длины - его стороны и диагонали.
При $d=3$ все уже не так гладко...

[ИСН]

На то афтар и повёл речь о серии последовательностей - и такая, и такая... Со всех сторон надо зайти.
$n(k)$ при $d=2$ должно расти как-то быстрее, типа квадратично.

-- Сб, 2010-10-09, 23:26 --

Нет, сволочь оно такое, не должно!
Но и не $2k+1$, всё-таки побольше.

[EtCetera]

ИСН

ИСН в сообщении #360477 писал(а):

$n(k)$ при $d=2$ должно расти как-то быстрее

Да, Вы, наверное, правы. Меня немного смутил правильный пятиугольник, и я чересчур размечтался о правильных многоугольниках.
Кстати, икосаэдр предстает весьма интересной фигурой в свете этой задачи. У икосаэдра два типа диагоналей, но из равенства $2R=2a\sin\dfrac{2\pi}{5}$ ($R$ - радиус описанной окружности) выходит, что диагонали обоих типов равны по длине. Т.е. всего двумя длинами ($k=2$) в трехмерном пространстве ($d=3$) можно развернуть конфигурацию из 12 точек ($n=12$).

[venco]

EtCetera в сообщении #360485 писал(а):

Кстати, икосаэдр предстает весьма интересной фигурой в свете этой задачи. У икосаэдра два типа диагоналей, но из равенства $2R=2a\sin\dfrac{2\pi}{5}$ ($R$ - радиус описанной окружности) выходит, что диагонали обоих типов равны по длине.

Мне кажется, Вы ошиблись. Один тип диагоналей - диаметр описанной сферы, другой короче.