Минимум для сборки

[Dmitriy40]

(Грустно)

Мда, грустно, за нерешённые проблемы мне браться бессмысленно.
Хотя для 3D попробовать можно, есть мыслишка перебирать не сетку координат, а радиусы сфер и обнаруживать соприкосновение сфер (точнее изменение количества точек пересечения) при малом "шевелении" переменных. Т.е. перебирать не по сетке в $\mathbb{R}^d$, а по сетке в пространстве радиусов $\mathbb{R}^k$ и поделить его всё на области с постоянным количеством точек пересечений всех сфер. Понятно что сетка будет не фиксированная, а уточняться по мере обнаружения вероятных решений. Заодно это будет и доказательством максимальности (т.к. переберутся все возможные варианты радиусов). В 3D это хотя бы вообразить можно, что с чем пересекается. Потом видимо несложно будет и обобщить на высшие размерности. Но это пока сыро всё, надо думать.
PS. Знакомая фамилия, по остроугольному множеству, как бы здесь не повторилась та же ситуация (застой, а потом несложная прорывная идея и куча вычислений) ...
PPS. Я не претендую, не подумайте.

UPD. Мда, из 6-ти фигур $(2D,4,2)$ я в уме нашёл лишь 3. Печаль.

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1250660 писал(а):

Хотя для 3D попробовать можно
...
Знакомая фамилия, по остроугольному множеству

Эрдёш -- гениальный математик мировой величины. Практически его энтузиазмом было развито до нынешнего уровня так называемое "венгерское" направление математики. Это когда теория развивается в попытках поиска ответов на отдельные интересные задачи. Вот только гипотезы в те времена (вторая половина XX в.) проверять можно было сначала только с блокнотиком и карандашом и лишь значительно позднее -- чуть лучше -- за счёт продвинутых алгоритмов и весьма слабеньких компьютеров. Поэтому сейчас можно и нужно выдвигать свои гипотезы и проверять их на современных вычислительных мощностях.
Кстати, пересечение окружностей активно использовалось в статьях в 2D, так что Ваши идеи очень даже могут сработать. (Глубоко я в те доказательства не вникал, но заметил.)

Dmitriy40 в сообщении #1250660 писал(а):

Я не претендую, не подумайте.

А вот это напрасно

[12d3]

grizzly в сообщении #1249973 писал(а):

Можно попробовать по аналогии с икосаэдром добавить в больших размерностях к целочисленной решётке ($0, \pm 1$) значение золотого сечения -- $\pm \frac{1+\sqrt 5}{2}$. У додекаэдра добавляется ещё обратное: $\pm \frac{1-\sqrt 5}{2}$. Золотые сечения, когда возводятся в квадраты, хорошо сочетаются с целыми числами.

Можно еще класть точки на одну гиперплоскость в пространстве большей размерности. Например, трехмерный тетраэдр можно разместить в решетке в 4D: $(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0)$.
Такое должно прокатывать со всякими треугольными да шестиугольными гранями, а вот пятиугольник ни в какую целочисленную решетку не посадишь, потому что $\cos 108^\circ = \frac{1-\sqrt 5}{4}$ не представляется в виде $\frac{a}{\sqrt b}, \,\,a,b \in \mathbb{Z}$, как того требует теорема косинусов.

[12d3]

grizzly в сообщении #1250643 писал(а):

Для $\mathbb R^4$ уже в случае двух различных расстояний нет никакой определённости -- даже гипотезы никто особенно не рискуют светить

Попробовал я это поковырять. Пока что выяснил, что к правильному симплексу больше одной точки присобачить нельзя. То есть всего 6 точек. Сильно сомневаюсь, что это рекорд.
Плюс к тому, когда-то я пытался строить примеры остроугольных множеств, и для 6 точек у меня всплывал очень красивый пример: две группы по три точки, внутри каждой из групп расстояние одно и то же, и между точками из разных групп тоже расстояние одно и то же. Это пример минимизировал максимальный угол. Но вот и здесь пригодился.

[grizzly]

12d3 в сообщении #1250737 писал(а):

То есть всего 6 точек. Сильно сомневаюсь, что это рекорд.

6 точек есть и в $\mathbb R^3$ (октаэдр). Так что да, рекорд в $\mathbb R^4$ должен быть побольше.

[12d3]

grizzly в сообщении #1250740 писал(а):

6 точек есть и в $\mathbb R^3$ (октаэдр). Так что да, рекорд в $\mathbb R^4$ должен быть побольше.

Тогда сразу виден и набор из 8 точек: гипероктаэдр.

[grizzly]

12d3 в сообщении #1250744 писал(а):

8 точек: гипероктаэдр

Точно! (Я об этом совсем даже не подумал :)

-- 25.09.2017, 20:09 --

12d3
Да, но уже есть универсальный пример чуть получше -- срединные точки рёбер симплекса (об этом сказано в той книжке по нерешённым проблемам). А это в $\mathbb R^4$ будет уже 10 точек.
Хуже того, в некоторых размерностях построены бОльшие примеры (по аналогии с пятиугольником в $\mathbb R^2$.

-- 25.09.2017, 20:12 --

Скажу сразу, что ограничение сверху для $\mathbb R^d$ с двумя расстояниями равно $\frac 12 (d+1)(d+2)$.

[12d3]

Есть план, как воевать с двумя расстояниями в любых размерностях, чтобы гарантированно максимальный набор искать.
Рассмотрим множество точек количеством на единицу большее размерности. Рассмотрим все неизоморфные графы на этих точках. Если точки соединены ребром, то между ними одно расстояние, иначе - другое расстояние. Перебор ещё сокращается вдвое, т.к. можно заменить ребро на неребро, и наоборот. Далее, для каждого графа надо высчитать отношение одного расстояния к другому. Как правило, это одно либо два числа. Ну, может и больше в больших размерностях, черт знает. Но не бесконечное количество. Ещё бы хорошо все в радикалах считалось. =) Таким образом, у нас получается множество значений отношений, для всех графов. Далее, рассматриваем по очереди все значения отношений. Каждому значению соответствует набор графов(хорошо если в наборе более одного графа), и искомому максимальному множеству будет соответствовать такой граф, что любой его подграф размером на единицу большей размерности пространства принадлежит набору графов для данного отношения.
Здесь все шаги более-менее можно доверить компьютеру, кроме одного: расчет отношения для графа. Точнее, может и можно, но мне в голову не пришло, как.
Попробовал сей план на трехмерии, нашел все графы, коих чуть меньше двух десятков, а вот на расчете отношений застрял надолго.

[ИСН]

12d3 в сообщении #1250688 писал(а):

Например, трехмерный тетраэдр можно разместить в решетке в 4D

Так-то можно и в 3D: $(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)$.

[12d3]

grizzly в сообщении #1250643 писал(а):

Для $\mathbb R^4$ уже в случае двух различных расстояний нет никакой определённости -- даже гипотезы никто особенно не рискуют светить. Вообще никаких конкретных результатов (известных на сегодняшний день рекордов) найти для $\mathbb R^4$ не удалось.

А оказалось, все уже украдено сделано до нас.
Плюс к этому, доказано, что икосаэдр в $\mathbb{R}^3$ - это максимум для трех расстояний.
А то, что предлагал я, проделано для $\mathbb{R}^3$ ажно полвека назад тут.

[grizzly]

12d3
Спасибо, очень интересно! Плохо я искал. И даже то, что нашёл сформулировал паршиво